数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次考试（2018

数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次考试（2018

南阳一中2018届高三第十二次考试 理数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数满足,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知等差数列,前项和为,,则( )‎ A．140 B．280 C．168 D．56 ‎ ‎4.已知的终边上有一点,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设有下面四个命题：‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ‎②若,则 ‎③“”是“或”的充分不必要条件 ‎④命题“中，若，则”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是( )‎ A．3 B．2 C.1 D．0‎ ‎6.设函数若,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．2‎ ‎8.已知变量满足约束条件若的最大值为2，则实数等于( )‎ A．-2 B．-1 C.1 D．2‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的为( )‎ ‎ ‎ A．3 B． C. D．-2‎ ‎10.已知双曲线的右焦点为,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.已知平面截球的球面得圆，过圆心的平面与的夹角为，且平面截球 的球面得圆，已知球的半径为5，圆的面积为，则圆的半径为( )‎ A．3 B． C.4 D．‎ ‎12.已知只有50项的数列满足下列三个条件：①;②；③.对所有满足上述条件的数列共有个不同的值，则( )‎ A．10 B．11 C.6 D．7‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为 ．‎ ‎14.的展开式中的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎15.已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为 ．‎ ‎16.在锐角中，分别为角所对的边，满足,且的面积,则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知为单调递增数列，为其前项和，‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若为数列的前项和，证明：.‎ ‎18.如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.‎ ‎ ‎ ‎19. 随着移动互联的快速发展，基于互联的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系.求关于的线性回归方程，并预测公司2017年5月份（即时）的市场占有率；‎ 报废年限 车型 ‎1年 ‎2年 ‎3年 ‎4年 总计 ‎20‎ ‎35‎ ‎35‎ ‎10‎ ‎100‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.‎ 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？‎ ‎（参考公式：回归直线方程为，其中）‎ ‎20.已知抛物线的焦点为 ，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.‎ ‎(Ⅰ)若，当时，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当时，研究函数的零点个数；‎ ‎(Ⅲ)求证：（参考数据：）.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆，圆,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)设曲线（为参数且）,与圆交于，求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若函数的最小值记为，设,且有 证明：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 高三第十二次考试理数答案 一、选择题 ‎1-5:BBADB 6-10: CBCCB 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14.-120 15. 6 16.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）当时，,所以，即,‎ 又为单调递增数列，所以.‎ 由得，所以,‎ 整理得,所以.‎ 所以，即,‎ 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.‎ ‎(Ⅱ)‎ 所以 ‎.‎ ‎18.(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知,所以 ‎，设是平面的法向量，则，即，取，得.‎ 设的坐标为，则,由,‎ 得,,,‎ ‎,所以，‎ 当时，,点到点的距离的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(Ⅰ)计算可得,‎ ‎.‎ ‎.月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为.‎ 当时，.故公司2017年5月份的市场占有率预计为23%.‎ ‎(Ⅱ)由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，每辆款车可产生的利润期望值为 ‎（元）.‎ 频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，‎ 每辆款车可产生的利润期望值为：‎ ‎（元），应该采购款单车.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)依题意直线的方程为，代入得,‎ 设,则.‎ 因为，即 ‎，即；‎ 因为，所以,又函数在单调递减，‎ 所以,‎ ‎(Ⅱ)因为,所以 则切线方程为 ①‎ 方程为 ②‎ ‎②--①得,‎ ‎ ③，‎ 将③代入①得,所以 到直线的距离 ‎,‎ ‎,‎ 因为,‎ 所以 ‎,‎ 当且仅当时，取最小值1.‎ ‎21.(Ⅰ)令则 ‎①若，则在递增，,即在恒成立，满足，所以；‎ ‎②若在递增，且时，，则使进而在递减，在递增，所以当时,即当时，,不满足题意，舍去，综合①，②知的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)依题意得,则,‎ 则在上恒成立，故在递增，‎ 所以，且时，；‎ ‎①若,即,则,故在递减，所以在无零点；‎ ‎②若，即,则使,进而在递减，在递增，且时，在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.‎ 综上所述，①当时无零点；②当时有一个公共点.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立，‎ 令,则即;‎ 由(Ⅱ)知，当时，对恒成立，‎ 令，则，所以；‎ 故有.‎ ‎22.(1),‎ ‎(2),,到直线的距离,所以,故当时，取得最大值3.‎ ‎23.(1)因为从图可知满足不等式的解集为.‎ ‎(2)证明：由图可知函数的最小值为，即.‎ 所以,,.‎ 当且仅但时，等号成立，即所以得证.‎ ‎ ‎