数学理卷·2018届四川省南充市高级中学高三1月检测考试（2018

数学理卷·2018届四川省南充市高级中学高三1月检测考试（2018

四川南充高中2018年高三1月检测考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎2.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温的数据一览表.‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）‎ A．最低温与最高温为正相关 ‎ B．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加 ‎ C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现1月 ‎ D．1月至4月的温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 ‎4.已知命题是的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在中，角的对边分别为，若，，且，则（ ）‎ A． B．3 C. D．4‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A．7 B．10 C.13 D．16‎ ‎9.设满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数的部分图像大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12.已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则 ．‎ ‎14.在二项式的展开式中，第3项为120，则 ．‎ ‎15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ ‎16.已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知正项数列满足，.数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为，，.‎ ‎（1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；‎ ‎（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.‎ ‎19.如图，四边形是矩形，，，，平面，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点.‎ ‎（1）设椭圆的方程；‎ ‎（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，.记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎21.函数.‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）将的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACBAB 6-10:CBDAD 11、12：DA 二、填空题 ‎13.5 14.2 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，‎ ‎∵，，∴，∴，‎ ‎∴是以1为首项，1为公差的等差数列，∴.‎ 当时，，当时也满足，∴.‎ ‎（2）由（1）可知：，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，‎ ‎(1)设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 ‎.‎ ‎（2）解：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，‎ 所以，故.‎ ‎19.（1）证明：设交于，‎ 因为四边形是矩形，，，，‎ 所以，.又，所以，.‎ 因为，所以.又平面，‎ 所以，而，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：取的中点，连接.‎ 因为平面，所以.‎ 由，得，所以.‎ 因为，，所以平面，从而，‎ 则是二面角的平面角.‎ 因为，，，所以.‎ 又，得，.‎ 因为，，所以平面，，‎ 则，.‎ 又，所以，‎ 在，中，，，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）因为，所以椭圆的方程为，‎ 把点的坐标代入椭圆的方程，得，‎ 所以，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，，‎ 联立方程组得，消去得，‎ 由，得，‎ 所以，.‎ 由，得.‎ 令，则，所以，‎ ‎，即，‎ 当且仅当，即时，上式取等号.‎ 此时，，满足，‎ 所以的最大值为.‎ ‎21.解：的定义域是，.‎ ‎（1）令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线.‎ 当时，‎ ‎①当；即时，，即在上恒成立.‎ ‎②当时，‎ 由得，.‎ 因为，所以，当时，，即，‎ 当或时，，即.‎ 综上，当时，在上递减，‎ 在和上递增；当时，在上递增.‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且，‎ 则必有，且，‎ 且在上递减，在和上递增，则.‎ 因为是的两根，‎ 所以，即，.‎ 要证成立，只需证 ‎，‎ 即证对恒成立.‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，，，故，‎ 故在上递增，‎ 故.‎ 所以对恒成立，‎ 故.‎ ‎22：解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，‎ 的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（2）由已知得，设，则，‎ 直线，点到直线的距离，‎ 所以，即到的距离的最小值为.‎ ‎23.解：（1）证明：因为，‎ 而，所以.‎ ‎（2）解：因为，‎ 所以或，解得，所以的取值范围是.‎