2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数（天津卷）（含答案）

2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数（天津卷）（含答案）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理科）‎ 名师简评 该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。‎ 本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）是虚数单位，复数=‎ ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎１．B ‎【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.‎ ‎【解析】===‎ ‎（２）设，则“”是“为偶函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 ‎（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ‎2．A ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.‎ ‎【解析】∵为偶函数，反之不成立，∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件.‎ ‎（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为 ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎3．C ‎【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.‎ ‎【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出.‎ ‎（4）函数在区间内的零点个数是 ‎（A）0 　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3‎ ‎4．B ‎【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.‎ ‎【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.‎ 解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.‎ ‎（5）在的二项展开式中，的系数为 ‎（A）10 　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-40‎ ‎5．D ‎【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.‎ ‎【解析】∵=，∴，即，∴的系数为.‎ ‎（6）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，已知，，则cosC=‎ ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎6．A ‎【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.‎ ‎【解析】∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，∴，=.‎ ‎（7）已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则 ‎（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎7．A ‎【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.‎ ‎【解析】∵=，=，‎ 又∵，且，，，∴，，所以，解得.‎ ‎（8）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是 ‎（A） （Ｂ）‎ ‎（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎8．D ‎【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.‎ ‎【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，‎ 则，解得.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.‎ ‎9．18，9‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.‎ ‎【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，‎ 所以应从小学中抽取，中学中抽取.‎ ‎（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 .‎ ‎10．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.‎ ‎【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：=.‎ ‎（11）已知集合，集合,且，则 , .‎ ‎11．，‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.‎ ‎【解析】∵=,又∵，画数轴可知，.‎ ‎（12）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 .‎ ‎12．2‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.‎ ‎【解析】∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点，‎ 由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得.‎ ‎（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过 点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，，，，则线段的长为 .‎ ‎13．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.‎ ‎【解析】∵，，，由相交弦定理得，所以，又∵BD∥CE，∴，=，设，则，再由切割线定理得，即，解得，故.‎ ‎（14）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .‎ ‎14．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.‎ ‎【解析】∵函数的图像直线恒过定点，且，，，∴，，，由图像可知.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）已知函数，.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ ‎（1） ‎ ‎ 函数的最小正周期为 ‎（2）‎ ‎ 当时，，当时，‎ ‎【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.‎ ‎（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加 趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去 参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： ‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： ‎ ‎（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与 数学期望.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ ‎（1）每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为 ‎ 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 ‎（2），‎ 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 ‎（3）可取 ‎ ‎ ‎ 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.‎ ‎（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，‎ 丄，丄，，，.‎ ‎(Ⅰ)证明：丄；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，‎ 求的长.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ ‎（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系 ‎ 则（lby lfx）‎ ‎ ‎ ‎（2），设平面的法向量 ‎ 则 取 ‎ 是平面的法向量 ‎ ‎ ‎ 得：二面角的正弦值为 ‎（3）设；则，‎ ‎ 即 ‎【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊 的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.‎ ‎（18）(本小题满分13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，‎ ‎ ，.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记；证明：.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ （1） 设数列的公差为，数列的公比为；‎ 则 ‎ ‎ 得：‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.‎ ‎（19）（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于 两点，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：直线的斜率满足.‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了 ‎【参考答案】‎ ‎（1）取，；则 ‎（2）设；则线段的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】‎ ‎（20）（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ ‎【参考答案】（1）函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得：时，‎ ‎（2）设 ‎ 则在上恒成立（*）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，与（*）矛盾 ‎ ②当时，符合（*）‎ ‎ 得：实数的最小值为(lfxlby)‎ ‎ （3）由（2）得：对任意的值恒成立 ‎ 取：‎ ‎ 当时， 得：（lb ylfx）‎ 当时，‎ ‎ 得：(lfxlby)‎ ‎【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.‎