江西省赣州市宁师中学2020届高三12月月考数学（文）试卷

江西省赣州市宁师中学2020届高三12月月考数学（文）试卷

数学（文科）试卷 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合，，则（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，是虚数单位，若，，则为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 不存在 ‎3.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.“”是“关于的方程有解”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i=1，2.....，6)，回归直线方程为，若=(9，6)(O为坐标原点)，则b=（ ）‎ A.3 B. C. D.-‎ ‎6.若变量x，y满足约束条件,则的最大值是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎7.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）‎ A. B. C.或 D.或 ‎8.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎9．函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10、为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位。‎ C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 ‎11.在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎12.设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设向量 , 满足, 则__________.‎ ‎14.已知函数的图象在点处的切线过点，则__________．‎ ‎15.过点的直线被曲线截得的弦长为2，则直线的方程为_____.‎ ‎16.对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数 的“拐点”，也是函数图象上的点，则函数的最大值是______.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一）必考题：共60分.‎ ‎17.设数列是公差为2的等差数列，数列满足，，．‎ ‎（1）求数列、的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎18.如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎19.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500，3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）按分层抽样的方法从质量落在的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；‎ ‎（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：‎ A.所有蜜柚均以40元/千克收购；‎ B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.‎ 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎21.已知椭圆：过点，且离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．‎ ‎(二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23．已知，．‎ ‎（1）求证：；‎ （2） 求证：．‎ 数学（文科）试卷参考答案 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A D A C B D A B D A B 一、 填空题 13. ‎ 14.1 15．或 16.‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）令，得，所以........3分 将代入，得 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即............6分 ‎（2）‎ ‎..............................8分 两式相减得到 ‎................................10分 化简得到..........................................................12分 ‎18.解：(1)连结,∵为的中点,,又四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴为等腰直角三角形,‎ 则,........................2分 同理可得,∴,∴, ..........3分 又,且, ∴, ‎ 又∵,∴,又,∴.......6分 (2) 取PE的中点G，连接FG.又F为PD的中点，且 ‎...........................................8分 ‎∴,......9分是三棱锥的高,‎ ‎∴. ‎ 三棱锥的体积为..............................12分 ‎19.解：（1）由题意得蜜柚质量在和的比例为，‎ ‎∴应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个....2分 记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，‎ 则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为..........5分 （2） 方案好.........................................................6分 理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05....................................................7分 若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，‎ 于是总收益为 ‎ ‎ ‎ （元）...9分 若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，‎ 蜜柚质量低于2250克的个数为,‎ ‎∴收益为 元......11分 ‎∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案....................12分 解：（1）函数定义域为，...1分 ‎∵，∴，解得或；，解得，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为....5分 ‎（2）∵在恒成立 ‎∴，........6分 令，则，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增...............10分 ‎∴，∴......................12分 ‎22．解：（1）由题意得 解得，‎ 所以椭圆的方程为．................................4分 ‎（2）设直线，‎ 由消去得，，‎ 解得．‎ 设，‎ 则，..........................................................6分 由题意，易知与的斜率存在，所以．‎ 设直线与的斜率分别为，‎ 则，，‎ 要证，即证，‎ 只需证，........................................8分 ‎∵，，‎ 故，‎ 又，，‎ 所以 ‎，‎ ‎∴，........................11分 ‎．.........................12分 ‎22.解:（1）由，得，‎ 由，得，........................2分 因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线 的普通方程为．...............................5分 ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上，‎ 设直线的参数方程为（为参数），代入，‎ 得，‎ 设点对应的参数分别为，则，，..........7分 所以．..........10分 ‎23.解：（1）‎ ‎，取等号．.....................................................................5分 ‎（2）‎ ‎，‎ 所以，取等号．............................................................10分