高中数学必修1公开课教案2_1_2 指数函数及其性质 第2课时
第2课时 指数函数及其性质(2)
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思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.
思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).
应用示例
思路1
例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.
活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.
解：因为图象过点（3,π）,
所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.
再把0,1,3分别代入,得
f(0)=π0=1,
f(1)=π1=π,
f(-3)=π-1=.
点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.
例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则
y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.
因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.
又因为ax1＞0,
所以y2－y1＞0,
即y1
1,y10且y≠1}.
（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,
所以函数值域为{y|y≥1}.
（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.
所以函数值域为{y|y>1}.
(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.
因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-20,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).
例2
（1）求函数y=()的单调区间,并证明.
（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.
活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.
解法一：设x10.
当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,
即>1,所以y2>y1,函数单调递增;
当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即<1,所以y2u2,又因为y=()u是减函数,
所以y10得2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0;④<.
当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.
分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;
因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;
因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.
因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.
图2-1-2-9
答案：①③④
另解：④
∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,
即>∴>.
拓展提升
在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.
(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;
(2)①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.
活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.
答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.
图2-1-2-10图2-1-2-11
观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:
y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;
y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.
观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:
y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;
y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.
你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.
课堂小结
思考
我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.
活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.
本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.
作业
课本P59习题2.1 B组 1、3、4.
设计感想
本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0
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