合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)

合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)

合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足，则( )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎3.若双曲线()的焦点到渐近线的距离是，则的值是( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎4.在中，，若，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ ‎　‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是( )‎ A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：丈尺) ( )‎ A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D.11676立方尺 ‎ 8.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是( )‎ A.函数的图象关于点对称 B.函数的周期是 C.函数在上单调递增 D.函数在上最大值是1‎ ‎9.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数的图象大致为( )‎ 7‎ ‎12.在平面直角坐标系中，圆经过点(0，1)，(0，3)，且与轴正半轴相切，若圆C上存在点，使得直线与直线()关于轴对称，则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 　　.‎ ‎14.设等差数列的前项和为，若，则 .‎ ‎15.若，则 .‎ ‎16.已知椭圆()的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，角的对边分别是.已知.‎ ‎(Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：‎ 7‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 足球特色学校(百个)‎ ‎0.30‎ ‎0.60‎ ‎1.00‎ ‎1.40‎ ‎1.70‎ ‎(Ⅰ)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明的线性相关性强弱 ‎(已知：，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱)；‎ ‎(Ⅱ)求关于的线性回归方程，并预测地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).‎ 参考公式：，，，‎ ‎，‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知直线与焦点为的抛物线()相切.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数().‎ 7‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的(为自然对数的底数)，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).在以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线和的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若分别为曲线和上的动点，求的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的解集；‎ ‎(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.‎ 合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)‎ 参考答案及评分标准 7‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A A B B B C D C A D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14.65 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解: (Ⅰ)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴. …………………………5分 ‎(Ⅱ)∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴. …………………………12分 ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明：‎ 取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴⊥平面，而平面，‎ ‎∴. …………………………5分 ‎(Ⅱ)∵三棱台的底面是正三角形，且，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ 由(Ⅰ)知，平面.‎ ‎∵正的面积等于，∴，.‎ ‎∵直角梯形的面积等于，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.…………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 7‎ 解：(Ⅰ)，，‎ ‎∴线性相关性很强. …………………………5分 ‎(Ⅱ)，‎ ‎，‎ ‎∴关于的线性回归方程是.‎ 当时，，‎ 即地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)∵直线与抛物线相切.‎ 由消去得，，从而，解得.‎ ‎∴抛物线的方程为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)由于直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为，()，().‎ 由消去得，，‎ ‎∴，从而，‎ ‎∴线段的中点的坐标为().‎ 设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则 ‎，‎ ‎∴当时，可使、两点到直线的距离之和最小，距离的最小值为.‎ ‎…………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)的定义域为().‎ ‎.‎ ⑴当时，恒成立，的单调递增区间为()，无单调递减区间；‎ ⑵当时，由解得，由解得.‎ ‎∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.‎ ‎…………………………5分 ‎(Ⅱ)‎ ‎①当时，恒成立，在()上单调递增，‎ ‎∴恒成立，符合题意.‎ ‎②当时，由(Ⅰ)知，在 和上单调递增，在上单调递减.‎ 7‎ ‎(ⅰ)若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需 ，且.‎ 而当时，‎ 且成立.‎ ‎∴符合题意.‎ ‎(ⅱ)若时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需即可，‎ 此时成立，‎ ‎∴符合题意.‎ ‎(ⅲ)若，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需 ，‎ 即，‎ ‎∴符合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是. …………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为，即.…………………………5分 ‎(Ⅱ)设点的坐标为().‎ 当时，=. …………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)由得，，‎ 所以，，解得，‎ 所以，的解集为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)恒成立，即恒成立.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因为(当且仅当，即时等号成立)，‎ 所以，即的最大值是. …………………………10分 7‎