数学卷·2018届辽宁省沈阳市铁路实验中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届辽宁省沈阳市铁路实验中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）‎ ‎3．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；‎ ‎②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；‎ ‎④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（　　）‎ A．S2013＞0，且S2014＜0 B．S2013＜0，且S2014＞0‎ C．a2013＞0，且a2014＜0 D．a2013＜0，且a2014＞0‎ ‎6．已知Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S6+S10+S15等于（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．6‎ ‎7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎9．已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．2 D．‎ ‎10．下列命题中正确的是（　　）‎ ‎①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；‎ ‎②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；‎ ‎③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎11．若不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎12．设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是　　．‎ ‎14．等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，则a3+a4+a5+a6+a7+a8=　　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　　．‎ ‎16．下列正确命题有　　．‎ ‎①“”是“θ=30°”的充分不必要条件 ‎②如果命题“￢（p或q）”为假命题，则 p，q中至多有一个为真命题 ‎③设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为3+2‎ ‎④函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则a的取值范围是．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，17题10分，18～22每题12分，总计70分）‎ ‎17．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎18．已知命题p：函数y=ax在R上单调递减．命题q：函数y=的定义域为R，若命题p∨（¬q）为假命题，求a的值．‎ ‎19．解关于x的不等式：．‎ ‎20．某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：‎ 学段 硬件建设（万元）‎ 配备教师数 教师年薪（万元）‎ 初中 ‎26/班 ‎2/班 ‎2/人 高中 ‎54/班 ‎3/班 ‎2/人 因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．‎ ‎（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）‎ ‎（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？‎ ‎21．已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=．‎ ‎（1）证明{}为等差数列，并求通项an；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn•an=3（1﹣），求数列{bn}的前n项和．‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Tn；‎ ‎（3）求满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整数n的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】总经理于基本不等式求解表达式的最值即可．‎ ‎【解答】解：xy=x•2y≤=，当且仅当x=，时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）‎ ‎【考点】不等关系与不等式；角的变换、收缩变换．‎ ‎【分析】从不等式的性质出发，注意不等号的方向．‎ ‎【解答】解：由题设得0＜2α＜π，0≤≤，‎ ‎∴﹣≤﹣≤0，‎ ‎∴﹣＜2α﹣＜π．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；‎ ‎②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；‎ ‎④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】①先写出该命题的否命题：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B，所以分这样几种情况判断即可：A，B∈（0，]，A∈（0，]，B∈（，π），A∈（，π），B∈（0，]；或通过正弦定理判断；②根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；③通过配方判断即可；④先求出命题的逆否命题，再判断正误即可．‎ ‎【解答】解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；‎ 若A，B∈（0，]，∵正弦函数y=sinx在（0，]上是增函数，∴sinA≤sinB可得到A≤B；‎ 若A∈（0，]，B∈（，π），sinA＜sinB能得到A＜B；‎ 若A∈（，π），B∈（0，]，则由sinA≤sinB，‎ 得到sin（π﹣A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；‎ 综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；‎ 法二：∵=，‎ ‎∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；‎ ‎②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；‎ 若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；‎ ‎∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；‎ 法二：p是q的必要不充分条件⇔￢q是￢p的必要不充分条件，‎ 而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，‎ 则￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，‎ 故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，‎ 所以该命题正确；‎ ‎③由x2+x+1=+＞0，故不存在实数x0，使x02+x0+1＜0；③错误；‎ ‎④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有实根，则m≤1”，‎ 由△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故④错误；‎ 故①②正确，选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．‎ ‎【解答】解：根据题意：‎ Sk+2=（k+2）2，Sk=k2‎ ‎∴Sk+2﹣Sk=24转化为：‎ ‎（k+2）2﹣k2=24‎ ‎∴k=5‎ 故选D ‎　‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（　　）‎ A．S2013＞0，且S2014＜0 B．S2013＜0，且S2014＞0‎ C．a2013＞0，且a2014＜0 D．a2013＜0，且a2014＞0‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵﹣a2013＜a1＜﹣a2014，‎ ‎∴a2013+a1＞0，a1+a2014＜0，‎ ‎∴S2013=‎ S2014=＜0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S6+S10+S15等于（　　）‎ A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．6‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】相邻两项依次结合，能求出S6+S10+S15的值．‎ ‎【解答】解：相邻两项依次结合，得：S6=3×（﹣1）=﹣3，‎ S10=5×（﹣1）=﹣5，‎ S15=7×（﹣1）+15=8，‎ ‎∴S6+S10+S15=（﹣3）+（﹣5）+8=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，‎ 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，‎ 即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；基本不等式．‎ ‎【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+）min≥7，将不等式2x+配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a的最小值．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，‎ ‎∴（2x+）min≥7，‎ ‎∵x＞a，‎ ‎∴y=2x+=2（x﹣a）++2a≥+2a=4+2a，当且仅当，即x=a+1时取等号，‎ ‎∴（2x+）min=4+2a，‎ ‎∴4+2a≥7，解得，a≥，‎ ‎∴实数a的最小值为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B． C．2 D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于3，建立条件关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎∵ax﹣y+2=0过定点A（0，2），‎ ‎∴ax﹣y+2≥0表示直线ax﹣y+2=0的下方，‎ ‎∴a＞0，则由图象可知C（2，0），‎ 由，解得，‎ 即B（2，2+2a），‎ 则△ABC的面积S=，‎ 故a=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题中正确的是（　　）‎ ‎①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；‎ ‎②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；‎ ‎③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的性质；等比数列的性质．‎ ‎【分析】①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；‎ ‎②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…为等差数列；‎ ‎③利用等比数列an=（﹣1）n，判断选项是否正确；‎ ‎④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故错；‎ ‎②设等差数列an的首项为a1，公差为d，‎ 则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，‎ 同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，‎ ‎∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），‎ ‎∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，此选项正确；‎ ‎③设an=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，‎ ‎∴此数列不是等比数列，此选项错；‎ ‎④因为an=Sn﹣Sn﹣1=（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）=Aqn﹣Aqn﹣1=（Aq﹣1）×qn﹣1，‎ 所以此数列为首项是Aq﹣1，公比为q的等比数列，则Sn=，‎ 所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．若不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）化为含参数x的m的一次不等式（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0，再令f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1），只要f（﹣2）＜0，f（2）＜0即可．‎ ‎【解答】解：原不等式化为（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0．‎ 令f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）（﹣2≤m≤2）．‎ 则，‎ 解得：＜x＜，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据分式的意义将分式进行化简，结合斜率的意义，得到的最小值是，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：z===1+2•，‎ 若z=的最小值为，‎ 即1+2•的最小值为，‎ 由1+2•=，得的最小值是，‎ 作出不等式组对应的平面区域，即的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率的最小值是，‎ 由图象知BD的斜率最小，由得，‎ 即B（3a，0），‎ 则=，即3a+1=4，则3a=3，‎ 则a=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是　“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是：命题“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．‎ 故答案为：“∃x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，则a3+a4+a5+a6+a7+a8=　63　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的定义和性质求出a3=1，公比q=2，再由等比数列的前n项和公式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＞1， +=3，a1a4=，‎ ‎∴a2•a3=a1•a4=，‎ ‎∴+==3=2（a2+a3），‎ ‎∴a2+a3=．‎ 解得a2=，a3=1，故公比q=2．‎ ‎∴a3+a4+a5+a6+a7+a8 ==63，‎ 故答案为：63‎ ‎　‎ ‎15．已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=2，‎ ‎∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，‎ 当且仅当y=2x=2时取等号．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．下列正确命题有　③④　．‎ ‎①“”是“θ=30°”的充分不必要条件 ‎②如果命题“￢（p或q）”为假命题，则 p，q中至多有一个为真命题 ‎③设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为3+2‎ ‎④函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则a的取值范围是．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据充要条件的定义，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据基本不等式，可判断③；根据一次函数的图象和性质，即零点存在定理，可判断④．‎ ‎【解答】解：①“”时，“θ=30°”不一定成立，“θ=30°”时“”一定成立，故“”是“θ=30°”的必要不充分条件，故①错误；‎ ‎②如果命题“¬（p或q）”为假命题，则命题“p或q”为真命题，则p，q中可能全为真命题，故②错误；‎ a＞0，b＞1，若a+b=2，则b﹣1＞0，a+（b﹣1）=1，则+=（+）[a+（b﹣1）]=3++≥3+2=3+2，即+的最小值为3+2，故③正确；‎ 若函数f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则f（﹣1）•f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（a+1）＜0，解得，故④正确，‎ 故正确的命题有：③④，‎ 故答案为：③④‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，17题10分，18～22每题12分，总计70分）‎ ‎17．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．‎ ‎（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，‎ ‎∴2p+q=3，①‎ 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，‎ ‎∴3+25p+5q=25p+8q，②‎ 联立①②求得 p=1，q=1‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n ‎∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：函数y=ax在R上单调递减．命题q：函数y=的定义域为R，若命题p∨（¬q）为假命题，求a的值．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，利用命题p∨（¬q）为假命题，列出不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数y=ax在R上为递减函数，∴命题p：0＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由函数y=的定义域为R，可知ax2﹣6ax+8+a≥0恒成立 当a=0时，8≥0符合题意 当a≠0时， ⇒0＜a≤1∴命题q：0≤a≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵p∨（¬q）为假，∴p为假命题，q为真命题，﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴∴a=1或a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．解关于x的不等式：．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】转化分式不等式一侧为0，对x的系数是否为0，因式的根的大小讨论，分别求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：原不等式化为…‎ 当m=0时，原不等式化为﹣x﹣1＞0，解集为（﹣∞，﹣1）； …‎ 当m＞0时，原不等式化为，又，‎ 所以原不等式的解集为； …‎ 当m＜0时，原不等式化为，‎ 当时，即﹣1＜m＜0，所以原不等式的解集为；‎ 当时，即m=﹣1，所以原不等式的解集为∅；‎ 当时，即m＜﹣1，所以原不等式的解集为；…‎ 综上所述，当m=0时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）；‎ 当m＞0时，原不等式的解集为；‎ 当﹣1＜m＜0时，原不等式的解集为；‎ 当m=﹣1时，原不等式的解集为∅；‎ 当m＜﹣1时，原不等式的解集为； …‎ ‎　‎ ‎20．某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：‎ 学段 硬件建设（万元）‎ 配备教师数 教师年薪（万元）‎ 初中 ‎26/班 ‎2/班 ‎2/人 高中 ‎54/班 ‎3/班 ‎2/人 因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．‎ ‎（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）‎ ‎（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．‎ ‎【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为… ‎ ‎…‎ ‎（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…‎ 由（I）作出可行域如图．…‎ 由方程组得交点M（20，10）…‎ 作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…‎ ‎∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…‎ ‎　‎ ‎21．已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=．‎ ‎（1）证明{}为等差数列，并求通项an；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn•an=3（1﹣），求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由a1=，an+1=，两边取倒数可得： =+，﹣=，再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）bn•an=3（1﹣），可得bn=2n﹣．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：由a1=，an+1=，‎ 两边取倒数可得： =+，﹣=，‎ ‎∴{}为等差数列，首项为，公差为．‎ ‎∴=+（n﹣1）=，‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）解：∵bn•an=3（1﹣），‎ ‎∴=3（1﹣），解得bn=2n﹣．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和=（2+4+…+2n）﹣+…+．‎ ‎=﹣+…+=n（n+1）﹣+…+．‎ 设Tn=++…+，‎ ‎∴=+…++，‎ ‎∴=1++…+﹣=﹣，‎ ‎∴Tn=4﹣．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和=n2+n﹣4+．‎ ‎　‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Tn；‎ ‎（3）求满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整数n的值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由已知条件得Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），从而an+1=4an，由此推导出数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．从而=22n﹣1．‎ ‎（2）由log2an==2n﹣1，能求出数列{log2an}的前n项和．‎ ‎（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，令＞，能求出满足条件的最大正整数n的值为1．‎ ‎【解答】解：（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），‎ ‎∴an+1=4an，∵a1=2，a2=8，‎ ‎∴a2=4a1，‎ ‎∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．‎ ‎∴=22n﹣1．‎ ‎（2）由（1）得：log2an==2n﹣1，‎ ‎∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an ‎=1+3+…+（2n﹣1）‎ ‎==n2．‎ ‎（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）‎ ‎=（1﹣）（1﹣）…（1﹣）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 令＞，解得：n＜‎ 故满足条件的最大正整数n的值为1．‎ ‎　‎