2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年福建省晋江市季延中学高二上学期期中考试数学（理）试题

第 4 题 C B D A C1 B1A1 D1 M 2017-2018 学年福建省晋江市季延中学高二上学期期中考试数学（理）科试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一,选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的） 1.命题：“ ， ”的否定是（ ） A． ， B．不存在 ， C． ， D． ， 2.抛物线 的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 3.双曲线 的一条渐近线为 ，则该双曲线的离心率为( ) A． B．2 C． D． 4.如图，在平行六面体 中,点 为 与 的交点， 若 ， 则下列向量中与 相等的是（ ） A． B． C． D． 5.平面内有两定点 A、B 及动点 P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面是边长为 1 的正方形，若∠A1AB=∠A1AD =60º，且 A1A=3，则 A1C 的长为（ ） 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 5 6 0x R∃ ∈ 02 0x ≤ 0x R∃ ∈ 02 0x > 0x R∈ 02 0x > x R∀ ∈ 2 0x > x R∀ ∈ 2 0x ≤ 22xy = )0,1( )0,2 1( )8 1,0( )4 1,0( xy 2= 1111 DCBAABCD − M AC BD aBA =11 ,, 111 cAAbDA == MB1 cba +−− 2 1 2 1 cba ++ 2 1 2 1 cba +− 2 1 2 1 cba ++− 2 1 2 1 A． B． C． D． 8．空间四边形 OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC＝∠OAB＝ π 3 ，则 cos〈OA→ ，BC→ 〉等于(　　) A. B. C． D． 9.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，若 的最大值为 5，则 的值是( ) A. 1 B. C. D. 10.已知命题 椭圆 上存在点 到直线 的距离为 1，命题 椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是 （ ） A． B． C. D． 11.如图，过抛物线 焦点的直线依次交抛物线和圆 于 A、B、C、D 四 点，则|AB|·|CD|＝(　　) A．4 B．2 C．1 D. 1 2 12.已知 A,B,P 是双曲线 上的不同三点，且 AB 连线经过原点，若直线 PA，PB 的 斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 13. 若双曲线 的离心率 e=2，则 m= 。 14 、 已 知 命 题 P ： 任 意 “ ， ”， 命 题 q ： “ 存 在 ”若“p 且 q”为真命题，则实数 的取值范围是 。 2 2 116 y x m − = [ ]2,1∈x 02 ≥− ax ( ) 011, 2 <+−+∈ xaxRx a 5 2 2 14 17 2 1 2 2 12 1 6 1 )20(14 2 22 <<=+ bb yx 21, FF 1F BA, 22 AFBF + b 2 2 3 3 :p 2 24 1+ =x y M : 2 6 2 0+ − =l x y :q 2 22 27 54+ =x y 2 29 16 144− =x y ( )∧ ¬p q ( )¬ ∧p q ( ) ( )¬ ∧ ¬p q ∧p q xy 42 = 1)1( 22 =+− yx 12 2 2 2 =− b y a x 3 2=• PBPA KK 3 15 2 5 2 10 2 15.已知点 A 是抛物线 (p＞0)上一点，F 为其焦点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆 交准线于 B，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是 128 3 ，则抛物线的方程为 。 16.已知椭圆 与双曲线 : 有公共的焦点 ，且在第一象限交点为 ，且 ．若 与 的离心 率分别为 、 ，则 的最大值为 。 三、解答题（10+12+12+12+12+12=70 分，写出必要的解题过程） 17.（本小题满分 10 分） 设命题 ：方程 表示双曲线；命题 ： （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围． （2）若命题 为真命题，求实数 的取值范围． （3）求使“ ”为假命题的实数 的取值范围． 18.已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为 3 5. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为 4 5的直线被 C 所截线段的中点坐标. 19、在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点 D 是 BC 的中点； p 2 2 11 2 2 x y m m + =− + q 022, 0 2 00 =−++∈∃ mmxxRx p m q m qp ∨ m pxy 22 = 1 :C 2 2 2 2 1 1 1x y a b + = 2C 2 2 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2,F F P 1 2 4cos = 5F PF∠ 1C 2C 1e 2e 1 2 1 1 e e + （I）求异面直线 A1B，AC1 所成角的余弦值； （II）求直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值． 20. 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 ， 底 面 为 菱 形 ， 平 面 ， ， 分别是 的中点． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦 值． 21.在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段， 为垂足，点 在线段 上， 且 ，点 在圆上运动。 (1)求点 的轨迹方程； (2)过定点 的直线与点 的轨迹交于 两点，在 轴上是否存在点 ，使 为常数，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 060ABC∠ = ,E F ,BC PC AE PD⊥ 2, 2AB PA= = E AF C− − 2 2 4x y+ = P P x D M DP 2DP DM= P M ( )1,0C − M ,A B x N NA NB⋅  N 22．如图，椭圆 =1（a＞b＞0）的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原点． （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点．若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有|OA|2+|OB|2＜ |AB|2，求 a 的取值范围． 季延中学 2017 年秋高二年期中考试数学（理）参考答案 一： CCCDB AACDB CA 二：13, 48 14， 15, y2＝16x 16, 三： 17.解（1）∵方程 表示双曲线， ∴ ，即 或 。 …………4 分 （2） 或 …………7 分 （3）要使“ ”为假命题，则 p，q 都是假命题， ∴ 得 的取值范围为 …………10 分 18.解　(1)将(0，4)代入 C 的方程得 16 b2＝1，∴b＝4. 又由 e＝ c a＝ 3 5，得 a2－b2 a2 ＝ 9 25，即 1－ 16 a2＝ 9 25， ∴a＝5，∴C 的方程为 x2 25＋ y2 16＝1. …………5 分 (2)过点(3，0)且斜率为 4 5的直线方程为 y＝ 4 5(x－3). …………6 分 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y＝ 4 5(x－3)代入 C 的方程， 得 x2 25＋ （x－3）2 25 ＝1，即 x2－3x－8＝0，解得 x1＝ 3－ 41 2 ，x2＝ 3＋ 41 2 . …………9 分 设线段 AB 的中点坐标为(x′，y′)，则 x′＝ x1＋x2 2 ＝ 3 2，y′＝ y1＋y2 2 ＝ 2 5(x1＋x2－6)＝ － 6 5， 即中点坐标为(3 2，－ 6 5). …………12 分 19. 【答案】（I） （II） 解：（I）以 ， ， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz，………1 分 则可得 B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， 2 2 11 2 2 x y m m + =− + (1 2 )( 2) 0m m− + < 2m < − 1 2m > 2−≤m 1≥m qp ∨    <<− ≤≤− 12 2 12 m m 2 12 ≤<− m m∴ ]2 1,2(− ( )1,−∞− 10 3 ∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4）， ∴cos＜ ， ＞= = ………………5 分 ∴异面直线 A1B，AC1 所成角的余弦值为 ………………6 分 （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0）， 设平面 C1AD 的法向量为 =（x，y，z）， 则可得 ，即 ，取 x=1 可得 =（1，﹣1， ），……………9 分 设直线 AB1 与平面 C1AD 所成的角为 θ，则 sinθ=|cos＜ ， ＞|= …………11 分 ∴直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值为： …………12 分 20. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ． 试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角形， 因为 为 的中点，所以 ，又 ，因此 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 而 平面 ， 平面 且 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，…………6 分 又 分别为 的中点， 1n AC 0 n AD 0  ⋅ = ⋅ =     15 5 ABCD 060ABC∠ = ABC∆ E BC AE BC⊥ / /BC AD AE AD⊥ PA ⊥ ABCD AE ⊂ ABCD PA AE⊥ PA ⊂ PAD AD ⊂ PAD PA AD A= AE ⊥ PAD PD ⊂ PAD AE PD⊥ , ,AE AD AP A ,E F ,BC PC 所以 ， 所以 ．…………7 分 设平面 的一法向量为 ，则 ，因此 ． 取 ，则 ，…………9 分 因为 ，所以 平面 ， 故 为平面 的一法向量，又 ，…………10 分 所以 ，…………11 分 因为二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 …………12 分 21.试题解析：(1)设 P(x0，y0)，M(x，y)，则 x0＝x，y0＝ y. ∵P(x0，y0)在 x2＋y2＝4 上，∴x＋y＝4. ∴x2＋2y2＝4，即 ＋ ＝1. 点 M 的轨迹方程为 ＋ ＝1(x≠±2)．…………4 分 (2)假设存在．当直线 AB 与 x 轴不垂直时， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)， 联立方程组 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0， ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .…………6 分 ∴ · ＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2) 3 1(0,0,0), ( 3, 1,0), ( 3,1,0), (0,2,0), (0,0,2), ( 3,0,0), ( , ,1)2 2A B C D P E F− 3 1( 3,0,0), ( , ,1)2 2AE AF= =  AEF 1 1 1( , , )m x y z= 0 0 m AE m AF  ⋅ =  ⋅ =   1 1 1 1 3 0 3 1 02 2 x x y z  = + + = 1 1z = − (0,2, 1)m = − , ,BD AC BD PA PA AC A⊥ ⊥ = BD ⊥ AFC BD AFC ( 3,3,0)BD = − 2 3 15cos , 55 12 m BDm BD m BD ⋅ ×< >= = = ×⋅   E AF C− − 15 5 ＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2 ＝(1＋k2)× ＋(k2－n)× ＋k2＋n2 ＝ ＋n2 …………………………………………7 分 ＝ ＋n2 ＝ (2n2＋4n－1)－ .………………………………8 分 ∵ · 是与 k 无关的常数，∴2n＋ ＝0. ∴n＝－ ，即 N ，此时 · ＝－ .……………………10 分 当直线 AB 与 x 轴垂直时，若 n＝－ ，则 · ＝－ .……………………11 分 综上所述，在 x 轴上存在定点 N ，使 · 为常数．……………………12 分 22【解答】解：（Ⅰ）设 M，N 为短轴的两个三等分点， 因为△MNF 为正三角形，所以 ， 即 1= ，解得 ．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为 ．…………4 分 （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）． （ⅰ）当直线 AB 与 x 轴重合时， |OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1）， 因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．……………………5 分 （ⅱ）当直线 AB 不与 x 轴重合时， 设直线 AB 的方程为： ， 整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0， 所以 ……………………6 分 因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB 恒为钝角． 即 恒成立．……………………8 分 x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1 = = ．………………………………9 分 又 a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0 对 m∈R 恒成立， 即 a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2 对 m∈R 恒成立． 当 m∈R 时，a2b2m2 最小值为 0，所以 a2﹣a2b2+b2＜0．…………11 分 a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4， 因为 a＞0，b＞0，所以 a＜b2，即 a2﹣a﹣1＞0， 解得 a＞ 或 a＜ （舍去），即 a＞ ， 综合（i）（ii），a 的取值范围为（ ，+∞）．…………12 分