数学卷·2018届陕西省西安市黄陵中学高二下学期开学数学试卷（理科）（重点班）（解析版）

数学卷·2018届陕西省西安市黄陵中学高二下学期开学数学试卷（理科）（重点班）（解析版）

‎2016-2017学年陕西省西安市黄陵中学高二（下）开学数学试卷（理科）（重点班）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=1 C．x=﹣ D．x=‎ ‎2．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎3．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎4．已知数列{an}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=（　　）‎ A．36 B．32 C．24 D．22‎ ‎5．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13‎ ‎7．已知命题p：＜1，q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣2，+∞）‎ ‎8．直线y=﹣x与椭圆C： =1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．4﹣2‎ ‎9．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．7+ D．6‎ ‎10．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM•kBM=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bcosC+ccosB=2b，则=　　．‎ ‎14．设数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列，则an=　　．‎ ‎15．若三进制数10k2（3）（k为正整数）化为十进制数为35，则k=　　．‎ ‎16．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设{ an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{ cn}是1，1，2，…，求数列{ cn}的前10项和．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）已知，求△ABC面积的最大值．‎ ‎20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC=AB1；‎ ‎（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎21．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．‎ ‎（1）求证：AB∥平面DEG；‎ ‎（2）求证：BD⊥EG；‎ ‎（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．‎ ‎22．已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程和离心率e；‎ ‎（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安市黄陵中学高二（下）开学数学试卷（理科）（重点班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=x2的准线方程是（　　）‎ A．y=﹣1 B．y=1 C．x=﹣ D．x=‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；‎ 所以：2p=4，即p=2，‎ 所以： =1，‎ 所以准线方程y=﹣1．‎ 故选A．．‎ ‎　‎ ‎2．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　　）‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线E： =1中a=3．‎ ‎∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，‎ ‎∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，‎ ‎∴|PF2|=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知数列{an}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=（　　）‎ A．36 B．32 C．24 D．22‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可知，，结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式S9==9b5可求 ‎【解答】解：由等比数列的性质可知，‎ ‎∴‎ ‎∴a5=2‎ ‎∴b5=2a5=4‎ 则S9==9b5=36‎ 故选A ‎　‎ ‎5．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，‎ 设双曲线方程为，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有，‎ 两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得 ‎=，‎ 从而==1‎ 即4b2=5a2，‎ 又a2+b2=9，‎ 解得a2=4，b2=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．‎ ‎【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+y得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，‎ 此时z最大，‎ 此时M=z=3×+5×=17，由，‎ 解得，即A（4，﹣1），‎ 此时z=3×4﹣1=11，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知命题p：＜1，q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣2，+∞）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求解命题P，通过讨论a的取值，从而解出不等式（x+a）（x﹣1）＞0，判断所得解能否使p是q的充分不必要条件，或限制a后能使p是q的充分不必要条件，综合以上求得的a的范围求并集即可．‎ ‎【解答】解：命题p：可得，，即：x＜1或x＞2，‎ 命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x+a）（x﹣1）＞0，‎ 若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x≠1，符合p是q的充分不必要条件；‎ 若﹣a＞1，即a＜﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x＞﹣a，或x＜1，由x＜1或x＞2，得到﹣a＜2，符合p是q的充分不必要条件；‎ 若﹣a＜1，即a＞﹣1，不等式（x+a）（x﹣1）＞0的解是x＞1，或x＜﹣a，∵p是q的充分不必要条件，q：x＜1或x＞2，不满足P是q的充分条件；‎ 综上得a的取值范围是（﹣2，﹣1]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．直线y=﹣x与椭圆C： =1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．4﹣2‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．‎ 直线y=﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．‎ 由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．7+ D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．‎ ‎【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．‎ ‎【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ‎∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，‎ ‎∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM•kBM=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】假设点的坐标，将斜率用坐标表示，再将A，M的坐标代入椭圆方程可求 ‎【解答】解：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（﹣x1，﹣y1），则kAM•kBM=‎ ‎∵A，M在椭圆上，‎ ‎∴，，两式相减，可得KAM•KBM=﹣‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）‎ 抛物线准线y=﹣1，‎ 根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：‎ S==‎ 由抛物线定义 ‎=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）‎ ‎≥﹣1=2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bcosC+ccosB=2b，则=　2　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，‎ 即sin（B+C）=2sinB，‎ ‎∵sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴sinA=2sinB，‎ 利用正弦定理化简得：a=2b，‎ 则=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．设数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列，则an=　2n　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=2an﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a3+a1，代入解出a1，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：数列{an}的前n项和Sn=2an﹣a1，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，‎ ‎∴an=2an﹣1．‎ ‎∵a1，a2+1，a3成等差数列，‎ ‎∴2（a2+1）=a3+a1，‎ ‎∴4a1+2=4a1+a1，‎ 解得a1=2，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2．‎ ‎∴an=2n．‎ 故答案为：2n．‎ ‎　‎ ‎15．若三进制数10k2（3）（k为正整数）化为十进制数为35，则k=　2　．‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】化简三进制数为十进制数，从而求得．‎ ‎【解答】解：10k2（3）=1×33+k×3+2=35，‎ 故29+3k=35，‎ 故k=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于2的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积，利用几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都小于2的地方的概率．‎ ‎【解答】解：昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，‎ ‎∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为π×22=4π×，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为=．‎ 故答案为：；‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设{ an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{ cn}是1，1，2，…，求数列{ cn}的前10项和．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】依题意：c1=a1﹣b1=1，由b1=0，知a1=1，设bn=（n﹣1）d，an=qn﹣1，由c2=a2+b2，c3=a3+b3，知1=d+q，2=2d+q2，解得q=2，d=﹣1．所以a n=2 n﹣1（n∈N*），bn=1﹣n （n∈N*），由此能求出数列{ cn}的前10项和．‎ ‎【解答】解：依题意：c1=a1+b1=1，‎ ‎∵b1=0，‎ ‎∴a1=1，‎ 设 bn=b1+（n﹣1）d=（n﹣1）d（n∈N*），‎ an=a1•qn﹣1=qn﹣1，（n∈N*）‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ c3=a3+b3，‎ ‎∴1=d+q，‎ ‎2=2d+q2，‎ 解得：q=0，d=1，或q=2，d=﹣1‎ ‎∵q≠0，‎ ‎∴q=2，d=﹣1．‎ ‎∴an=2n﹣1（n∈N*），‎ bn=1﹣n （n∈N*），‎ ‎∴c1+c2+…+c10=（a1+a2+…+a10）+（b1+b2+…+b10）‎ ‎=+‎ ‎=210﹣1﹣10‎ ‎=1024﹣46‎ ‎=978‎ ‎∴数列{ cn}的前10项和为978．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，可得=（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，可得=3a2=﹣15，解得a2，进而得到d．即可得出an．‎ ‎（2）由（1）可得：Sn=﹣n2﹣2n．可得bn==﹣=﹣，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，∴=（a1+1）（a4+1），‎ 又S3=﹣15，∴=﹣15，∴a2=﹣5．‎ ‎∴（﹣5+1）2=（﹣5﹣d+1）（﹣5+2d+1），解得d=0或d=﹣2．‎ d=0时，公比为1，舍去．‎ ‎∴d=﹣2．‎ ‎∴an=a2﹣2（n﹣2）=﹣5﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣1．‎ ‎（2）由（1）可得：Sn==﹣n2﹣2n．‎ ‎∴bn==﹣=﹣，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+++…++‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣+．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）已知，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．‎ ‎（2）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）因为，所以（2c﹣b）cosA=acosB由正弦定理，‎ 得（2sinC﹣sinB）cosA=sinAsinB，整理得2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB 所以2sinC﹣cosA=sin（A+B）=sinC 在△ABC中，sinC≠0，所以 ‎（2）由余弦定理cosA==，a=2．‎ ‎∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20‎ ‎∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．‎ ‎∴三角形的面积S=bcsinA≤5．‎ ‎∴三角形面积的最大值为5‎ ‎　‎ ‎20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC=AB1；‎ ‎（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．‎ ‎【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；‎ ‎（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，‎ 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，‎ 又B10=CO，∴AC=AB1，‎ ‎（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，‎ 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，‎ ‎∴OA，OB，OB1两两垂直，‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，‎ 的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ ‎∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，‎ ‎∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）‎ ‎∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），‎ 设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，‎ 则，可取=（1，，），‎ 同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 ‎　‎ ‎21．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．‎ ‎（1）求证：AB∥平面DEG；‎ ‎（2）求证：BD⊥EG；‎ ‎（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）要证AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一条直线与AB平行，根据题目给出的条件，能够证得AB∥DG；‎ ‎（2）根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直，然后以E为原点，以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，运用向量数量积等于0，从而证明BD⊥EG；‎ ‎（3）在（2）的基础上，求出二面角的两个半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，‎ ‎∵BC=2AD，G为BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG 因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，∴AB∥平面DEG．‎ ‎（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，‎ ‎∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA两两垂直．‎ 以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．‎ ‎∵，∴‎ ‎∴BD⊥EG．‎ ‎（3）解：由已知得是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为 ‎∵，∴，令z=1，得x=﹣1，y=2，即．‎ 设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，‎ 则，∴‎ ‎∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程和离心率e；‎ ‎（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意c=2，设椭圆方程，将A代入椭圆方程，即可求得a的值，即可求得椭圆方程及离心率；‎ ‎（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理△≥0，即可求得b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，c=2，设椭圆方程为，‎ 代入点A（2，3），‎ 解得：a2=16，则b2=12，离心率e==‎ ‎∴椭圆方程为，离心率；‎ ‎（2）设直线l的方程y=x+b，‎ 则，整理得：3x2+3bx+b2﹣12=0，‎ 由△=（3b）2﹣12（b2﹣12）≥0，解得：﹣4≤b≤4，‎ 直线l在y轴上的截距的取值范围[﹣4，4]．‎