北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度新学道临川学校高三(上)期中 数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．函数f（x）＝sinx+cosx的最小正周期是（　　）‎ A．2π B． C．π D．‎ ‎2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅‎ ‎3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎4．的值是（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎5．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]‎ ‎6．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（　　）‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎7． sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎10．已知关于x的不等式ax﹣b≤0的解集是[2，+∞），则关于x的不等式ax2+（3a﹣b）x﹣3b＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） B．（﹣3，2） ‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3）‎ ‎11．已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）‎ ‎12．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（　　）‎ A．130 B．170 C．210 D．260‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝　 　．‎ ‎14．若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝　 　．‎ ‎15．对任意的x＞0，函数的最大值是　 　．‎ ‎16．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意x都满足f（x+2）＝f（4﹣x），且当x∈[0，3]，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）＝　 　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B+C）的值．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a8＝82，S41＝S9．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎19(文)．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎19(理)．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点．‎ ‎（1）求证：SC⊥AM；‎ ‎（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．‎ ‎20．已知函数f（x）＝2⋅，x∈R，其中＝（2cosx，﹣sin2x），＝（cosx ‎，1），‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；‎ ‎（2）在△ABC中，f（A）＝﹣2，⋅＝3，求△ABC中的面积．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明{an}是等差数列．‎ ‎22．已知函数f（x）＝ex﹣cosx．‎ ‎（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求证：f（x）在（﹣，+∞）上仅有2个零点．‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．函数f（x）＝sinx+cosx的最小正周期是（　　）‎ A．2π B． C．π D．‎ ‎【分析】把三角函数式整理变形，变为f（x）＝Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＝sinx+cosx ‎＝（‎ ‎＝，‎ ‎∴T＝2π，故选：A．‎ ‎【点评】本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．‎ ‎2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，‎ B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；‎ A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．‎ ‎3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．‎ ‎【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，‎ ‎∴，‎ 解得a1＝﹣2，d＝4，‎ ‎∴{an}的公差为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎4．的值是（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【分析】根据，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算性质．‎ ‎5．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]‎ ‎【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．‎ 若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，‎ 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，‎ ‎∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），‎ ‎∴﹣1≤x﹣2≤1，‎ 解得：x∈[1，3]，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．‎ ‎6．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（　　）‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 ‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．‎ ‎【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象，即曲线C2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．‎ ‎7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°‎ ‎＝sin20°cos10°+cos20°sin10°‎ ‎＝sin30°‎ ‎＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．‎ ‎8．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．‎ ‎【解答】解：由已知得到如图 由＝＝＝；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．‎ ‎9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝，‎ 即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，‎ f（log212）＝＝×＝12×＝6，‎ 则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎10．已知关于x的不等式ax﹣b≤0的解集是[2，+∞），则关于x的不等式ax2+（3a﹣b）x﹣3b＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞） B．（﹣3，2） ‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3）‎ ‎【分析】由一元一次不等式求得b＝2a，且a＜0；由此化简二次不等式并求出解集．‎ ‎【解答】解：由关于x的不等式ax﹣b≤0的解集是[2，+∞），‎ 得b＝2a且a＜0，‎ 则关于x的不等式ax2+（3a﹣b）x﹣3b＜0可化为x2+x﹣6＞0，‎ 即（x+3）（x﹣2）＞0，‎ 解得：x＜﹣3或x＞2，‎ 所求不等式的解集为：（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及二次不等式的解法和应用问题，是基础题．‎ ‎11．已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）‎ ‎【分析】顺序求出有向线段，然后由＝求之．‎ ‎【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到＝（3，1），向量＝（﹣4，﹣3），‎ 则向量＝＝（﹣7，﹣4）；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．‎ ‎12．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（　　）‎ A．130 B．170 C．210 D．260‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．‎ ‎【解答】解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由题意得方程组，a1‎ 解得d＝，a1＝，‎ ‎∴s3m＝3ma1+d＝3m+＝210．‎ 故选C．‎ 解法2：∵设{an}为等差数列，‎ ‎∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列，‎ 即30，70，s3m﹣100成等差数列，‎ ‎∴30+s3m﹣100＝70×2，‎ 解得s3m＝210．‎ 故选C．a1‎ ‎【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝　2　．‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．‎ ‎【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，‎ ‎∴＝+4•+4‎ ‎＝22+4×2×1×cos60°+4×12‎ ‎＝12，‎ ‎∴|+2|＝2．‎ ‎【解法二】根据题意画出图形，如图所示；‎ 结合图形＝+＝+2；‎ 在△OAC中，由余弦定理得 ‎||＝＝2，‎ 即|+2|＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．‎ ‎14．若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝　1　．‎ ‎【分析】由题意可得，f（﹣x）＝f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝f（x），‎ ‎∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），‎ ‎∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），‎ ‎∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，‎ ‎∴ln（+x）（﹣x）＝0，‎ ‎∴lna＝0，‎ ‎∴a＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎15．对任意的x＞0，函数的最大值是　　．‎ ‎【分析】根据题意，原函数的解析式可变形为y＝，令t＝x++3，（x＞0），则y＝，对于t＝x++3，（x＞0），由基本不等式分析可得其最小值，进而由反比例函数的性质分析可得y＝的最大值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：＝，‎ 令t＝x++3，（x＞0），则y＝，‎ 则t≥2+3＝5，即t有最小值5，‎ 对于y＝，‎ 由t≥5，可得y≤，即y的最大值为，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的运用，在解题中，可以用配凑法使其满足基本不等式成立的条件．‎ ‎16．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意x都满足f（x+2）＝f（4﹣x），且当x∈[0，3]，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）＝　2　‎ ‎【分析】由已知求得函数的周期，再由x∈[0，3]时，f（x）＝log2（x+1）求解．‎ ‎【解答】解：由f（x）为奇函数且f（x+2）＝f（4﹣x），得f（6+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），‎ ‎∴f（12+x）＝﹣f（6+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），‎ 则f（x）是以12为周期的周期函数，‎ ‎∴f（2019）＝f（12×168+3）＝f（3）．‎ ‎∵当x∈[0，3]，f（x）＝log2（x+1），‎ ‎∴f（2019）＝f（3）＝log24＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的应用，是中档题．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎17．在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B+C）的值．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；‎ ‎（2）sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA，根据正弦定理可求出sinA．‎ ‎【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．‎ ‎∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB ‎＝，‎ ‎∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；‎ ‎（2）在△ABC中，∵cosB＝﹣，∴sinB＝，‎ 由正弦定理有：，‎ ‎∴sinA＝＝，‎ ‎∴sin（B+C）＝sin（﹣A）＝sinA＝．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a8＝82，S41＝S9．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据公式S2n﹣1＝（2n﹣1）an，列方程求解即可．‎ ‎（2）由Sn的表达式，根据二次函数的性质处理．‎ ‎【解答】解：（1）a2+a8＝82＝2a5，∴a5＝41‎ 由S41＝S9得41a21＝9a5⇒a2＝9，得：，解得d＝﹣2（4分）‎ 故an＝a5+（n﹣5）d＝41+2（n﹣5）＝51﹣2n，‎ 由（1），得．（10分）‎ 由二次函数的性质，当n＝25时Sn有最大值625．（12分）‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属基础题．‎ ‎19．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn＝，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，‎ 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，‎ ‎∵当n＝1时，a12+2a1＝4a1+3，‎ ‎∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，‎ 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n+1，‎ ‎∴bn＝＝＝（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn＝（﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎ ‎20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点．‎ ‎（1）求证：SC⊥AM；‎ ‎（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．‎ ‎【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥AM．‎ ‎（2）求出平面SAB的法向量和平面SCD的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）证明：在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，‎ ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点．‎ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则S（0，0，1），C（1，1，0），A（0，0，0），M（0，），‎ ‎＝（1，1，﹣1），＝（0，），‎ ‎＝＝0，‎ ‎∴SC⊥AM．‎ 解：（2）平面SAB的法向量＝（0，1，0），‎ D（0，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（0，1，﹣1），‎ 设平面SCD的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得＝（0，1，1），‎ 设平面SAB与平面SCD所成锐二面角为θ，‎ 则cosθ＝＝，∴θ＝45°．‎ ‎∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45°．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝2⋅，x∈R，其中＝（2cosx，﹣sin2x），＝（cosx，1），‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；‎ ‎（2）在△ABC中，f（A）＝﹣2，⋅＝3，求△ABC中的面积．‎ ‎【分析】（1）平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f（x）＝4cos（2x+）+2，由T＝＝π，则易得：f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；‎ ‎（2）由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A＝，又＝3，所以|AB||AC|＝3，即S△ABC＝|AB||AC|sin＝，得解．‎ ‎【解答】解：（1）因为＝（2cosx，﹣sin2x），＝（cosx，1），‎ 所以f（x）＝2⋅‎ ‎＝4cos2x﹣2‎ ‎＝2cos2x﹣2sin2x+2‎ ‎＝4cos（2x+）+2，‎ 由T＝＝π，‎ 由2kπ≤2x+≤2kπ+π，‎ 解得：k≤x≤k，k∈Z 故f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；‎ ‎（2）因为在△ABC中，f（A）＝﹣2，‎ 所以cos（2A）＝﹣1，‎ 所以2A+＝π，‎ 即A＝，‎ 又＝3，‎ 所以|AB||AC|＝3，‎ 即|AB||AC|＝6，‎ 所以S△ABC＝|AB||AC|sin＝，‎ 故△ABC中的面积为．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积、三角函数图象的性质及三角形的面积公式，属中档题．‎ ‎22．设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明{an}是等差数列．‎ ‎【分析】本小题考查等差数列的证明方法，数学归纳法及推理论证能力．‎ 等差数列的证明是数列的常见题型，本题可用两种方法：‎ 一是用数学归纳法，适用于理科，因为只要能证明{an}的通项公式满足等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d（n∈N），问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；‎ 二是数列用定义证明，即证明an﹣an﹣1＝m（常数），利用已知前n项和，首先利用an＝sn﹣sn﹣1表示出an，然后可以计算an﹣an﹣1＝m证明之，‎ ‎【解答】证明：法一：‎ 令d＝a2﹣a1．‎ 下面用数学归纳法证明an＝a1+（n﹣1）d（n∈N）．‎ ‎（1）当n＝1时上述等式为恒等式a1＝a1．‎ 当n＝2时，a1+（2﹣1）d＝a1+（a2﹣a1）＝a2，等式成立．‎ ‎（2）假设当n＝k（k≥2）时命题成立，ak＝a1+（k﹣1）d．由题设，有 Sk＝，Sk+1＝，又Sk+1＝Sk+ak+1‎ ‎∴（k+1）‎ 把ak＝a1+（k﹣1）d代入上式，得 ‎（k+1）（a1+ak+1）＝2ka1+k（k﹣1）d+2ak+1．‎ 整理得（k﹣1）ak+1＝（k﹣1）a1+k（k﹣1）d．‎ ‎∵k≥2，∴ak+1＝a1+kd．即当n＝k+1时等式成立．‎ 由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列 法二：‎ 当n≥2时，由题设，，．‎ 所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣‎ 同理有 an+1＝﹣．‎ 从而 an+1﹣an＝﹣n（a1+an）+，‎ 整理得an+1﹣an＝an﹣an﹣1═a2﹣a1‎ 从而{an}是等差数列．‎ ‎【点评】等差数列的证明在高考中常见，是高考的重要题型，本题就是全国高考题．‎ 等差数列的证明最常用的有两种方法：1．用定义证明，即证明an﹣an﹣1＝m（常数），有时题目很简单，很快可求证，但有时则需要一定的变形技巧，这需要多做题，慢慢就会有感觉的，本题就有些复杂． 2．用等差数列的性质证明，即证明2an＝an﹣1+an+1，此法不适用于本题，对于给出数列通项公式的证明，此法比较方便．‎ 另外本题因为是与自然序号相关的命题，所以法一运用了数学归纳法，尽管繁琐，但思路清晰．‎ ‎23．已知函数f（x）＝ex﹣cosx．‎ ‎（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求证：f（x）在（﹣，+∞）上仅有2个零点．‎ ‎【分析】（1）f（0）＝0．切点为（0，0）．f′（x）＝ex+sinx．可得f′（0）＝1，利用点斜式即可得出切线方程．‎ ‎（2）f′（x）＝ex+sinx．分类讨论：x≥0时，利用导数研究其单调性可得f′（x）≥0，函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．x∈（﹣，0）时，f″（x）＝ex+cosx＞0．可得函数f′（x）在x∈（﹣，0）上单调递增，进而得出f（x）零点的个数．‎ ‎【解答】解：（1）f（0）＝0．∴切点为（0，0）．‎ f′（x）＝ex+sinx．‎ ‎∴f′（0）＝1，‎ ‎∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣0＝x﹣0，化为：x﹣y＝0．‎ 证明：（2）f′（x）＝ex+sinx．‎ x≥0时，ex≥1，∴f′（x）≥0，‎ ‎∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，而f（0）＝0，‎ ‎∴函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．‎ x∈（﹣，0）时，f″（x）＝ex+cosx＞0．‎ ‎∴函数f′（x）在x∈（﹣，0）上单调递增，‎ 而＝﹣1＜0，f′（0）＝1＞0，‎ ‎∴存在唯一实数x0∈（﹣，0），使得f′（x0）＝+sinx0＝0，‎ 且函数f（x）在x∈（﹣，x0）上单调递减，x∈（x0，0）上单调递增．‎ 又＝＞0，f（x0）＝﹣cosx0＝﹣sinx0﹣cosx0＜0，f（0）＝0．‎ ‎∴函数f（x）在x∈（﹣，x0）上存在唯一零点，而在x∈[x0‎ ‎，0）上无零点．‎ 综上可得：f（x）在（﹣，+∞）上仅有2个零点．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 日期：2019/11/8 14:32:42；用户：专研；邮箱：18911202748；学号：12387402‎