【数学】2019届一轮复习人教A版向量在求值和求证不等式中的应用学案

【数学】2019届一轮复习人教A版向量在求值和求证不等式中的应用学案

一、 知识点 ‎1．设 则 ‎ ‎ ‎2． ‎ ‎3． 当 即与同向 时取“=”‎ ‎4．（）‎ ‎5． 与共线时取“=”‎ 二、应用举例 例1 设 且 ‎ ‎ 求的值 （国际竞赛题）‎ 解：取 由题意得：， ‎ 与同量，可设 ‎ 则 从而 ‎ 代入即得 运用向量知识解题时，要先从向量模的角度考虑向量。一般是根据向量模的平方结构式先设出一个向量，然后再根据向量数量积的坐标运算法则和所求结果（目标）的表达式，设（凑）出另一个向量。‎ 例2 设满足 求的最大值。‎ 解：设 ，则由得 ‎ ‎ 即的最大值为 （注意利用已知）‎ 当 即×5 ‎ 时取最大值 ‎ ‎ 变式：（1）求（）的最大值（即求的最小值）可设 ‎ （2）求的最大值，可设 ‎ （3）求的最大值，可设 例3 求的最大值。‎ 分析：先根据模的平方结构设一个向量 ‎ ‎ 可设 则 ‎ 得 当 即时取最大值 ‎ 学 ]‎ 例4 若 求的最小值，并求出此时对应的值。‎ 分析：观察可知，找不出平方和为常数的式子，但注意到 已知条件与在结构上有非常密切的关系，而且（）的最小值即的最小值加1‎ 设 则 时 取最小值 ‎ 得 学+ + ]‎ 当与同向时即 ‎ 例4 已知求的最值 解：由得 设，由得 ‎ ‎ 例6 已知 求的最大值。‎ 解：设 由得 故 例7 ‎ 若…，，且 求证：… （第24届苏联竞赛题）‎ 解：设…，‎ ‎ … 由得 ‎………‎ ‎ 推出2（… 故…‎ 例8 ‎ 设三角形三边的长为 ‎ 求证： （第16届苏联竞赛题）‎ 证：设 由得 即 变式：（1）已知 求的最大值 解：设 由得 学 ]‎ 的最大值为，此时由与同向立即可得 变式（2）若 求的最小值。（）‎ ‎（提示：可设 ）‎ 例7 ‎ 设且 求证： （第36届国际竞赛题）‎ 解：可得代入 构造向量：‎ ‎） 利用和 ‎（） ]‎ ‎2（）‎ 又 学 ]‎ 故 例7 ‎（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题）设 求证：‎ 证明：取 ）‎ 只有当与同向时取“=”号此时