专题02 数列（直通高考）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典

专题02 数列（直通高考）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典

专题02数列 ‎1.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若S5＝，求λ.‎ 因此{an}是首项为 ，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－.‎ 由S5＝得1－＝，即＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎2．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2‎ ‎（1）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(1)（2）‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为，由题意，得，‎ 则 因为,所以，‎ 因此数列的通项公式为 由题意，‎ 所以 ‎……+=……+①‎ 又……+②‎ ‎3．（2017天津理）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ 联立①②，解得，，由此可得．‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．‎ ‎（2）设数列的前项和为，由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎，得．‎ 所以，数列的前项和为．‎ ‎【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．‎ ‎4．（2017北京理）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（1）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎①当时，取正整数，则当时，，因此.‎ 此时，是等差数列.‎ ‎②当时，对任意，‎ 此时，是等差数列.‎ ‎③当时，‎ 当时，有.‎ 所以 对任意正数，取正整数，‎ 故当时，.‎ ‎5．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.‎ ‎(1)求该企业2014年年底分红后的资金；‎ ‎(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.‎ 即数列{an－500}是以a1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an－500＝1 000×2n－1，‎ ‎∴an＝1 000×2n－1＋500.‎ ‎(1)∵a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，‎ ‎∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.‎ ‎（2）由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.‎ ‎6．设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因为+3+…+（2n-1） =2n，故当n≥2时，‎ ‎+3+…+（-3） =2（n-1）.‎ 两式相减得（2n-1）=2，‎ 所以= (n≥2).‎ 又由题设可得=2，‎ 从而{}的通项公式为=.‎ ‎（2）记{}的前n项和为，‎ 由（1）知 = = - .‎ 则= - + - +…+ - = .‎ ‎【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.‎ ‎ 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎7．已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）由（1）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎