2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版
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湖南省娄底市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．在中,内角的对边分别为，若，则 一定是( )
A． 直角三角形 B． 等腰直角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值得到A=B，即可确定出三角形为等腰三角形．
【详解】
将利用正弦定理化简得： sinAcosB=cosAsinB，
变形得：sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，
∵A、B为三角形内角，
∴A﹣B=0，即A=B，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
2．在中，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由得，即
，整理得，根据余弦定理，因为，所以，故选B.
考点：余弦定理.
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝12，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A． 无实根 B． 有两个相等实根
C． 有两个不等实根 D． 不能确定有无实根
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质即可求得a4+a6，再利用一元二次方程有实数根的充要条件是△≥0即可．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，∴a2+a8=a4+a6=2a5，
∵a2+a5+a8=12，∴3a5=12，∴a5=4，∴a4+a6=2a5=8，
对于方程x2+（a4+a6）x+10=0，即为x2+8x+10=0，
∵△=82﹣4×10=24＞0，
∴此方程有两个不等实根．
故选：C．
【点睛】
熟练掌握等差数列的性质和一元二次方程有实数根的充要条件是解题的关键．
4．4．4．若则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选
视频
5．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1
0的解集为( )
A． {x|－21或x<－2}
C． {x|x>2或x<－1} D． {x|x<－1或x>1}
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的解集与方程根的关系，求出a，b的值，即可求得不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．
【详解】
∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），
∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根
∴
∴a=﹣1，b=1
∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，
∴x＜﹣2或x＞1
故选：B．
【点睛】
（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。
（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．
6．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝ ( )
A． B． 2 C． 4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据△ABC的周长，联立方程组，可求出a的值．
【详解】
根据正弦定理，可化为
∵△ABC的周长为，
∴联立方程组，
解得a=2．
故选：B
【点睛】
（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．
（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．
7．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A． (－∞，2] B． (－∞，2) C． (－∞，3] D． (－∞，3)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可得an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．
【详解】
∵数列{an}中，且{an}单调递增
∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立
∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
9．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A． 2 B． ±2 C． 4 D． ±4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得 q＞1，且 an ＞0，由条件可得 a1a2…a13=4a1a2…a9，化简得a10a11a12a13=4，再由 a8•a15=a10a13=a11a12，求得a8•a15的值．
【详解】
等比数列{an}是递增数列，其前n项的积为Tn（n∈N*），若T13=4T9 ，设公比为q，
则由题意可得 q＞1，且 an ＞0．
∴a1a2…a13=4a1a2…a9，∴a10a11a12a13=4．
又由等比数列的性质可得 a8•a15=a10a13=a11a12，∴a8•a15=2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，求得 a10a11a12a13=4是解题的关键．
10．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为
A． -1 B． 1 C． D． 2
【答案】B
【解析】
视频
11．若lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据对称的运算性质化简得到3xy=x+y+1，再根据基本不等式即可求出答案．
【详解】
∵lg（3x）+lgy=lg（3xy）=lg（x+y+1），x＞0，y＞0，
∴3xy=x+y+1，
∴3xy≥3，当且仅当x=y=1时取等号，
即xy≥1，
∴xy的最小值是1，
故选：A
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
12．已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：要求面积，首先要明确图形是什么？可先求出轨迹方程，再由轨迹方程确定曲线的形状，本题中设动点坐标为，由，可求出轨迹方程为，轨迹是以2为半径为圆，面积．
考点：动点的轨迹．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是________.
【答案】若，则
【解析】
【分析】
直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．
【详解】
命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是“若，则”
故答案为：若，则
【点睛】
本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．
14．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝，则AC的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得关于AC的方程，解之即可．
【详解】
由余弦定理可知cosA===﹣，
解得AC=2或﹣7（舍去）
故答案为：2
【点睛】
对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面210 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．
【答案】14
【解析】
【分析】
设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于210列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
【详解】
设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，
则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，
由求和公式有na1+=210，即2n+n（n﹣1）=210，
解得n=14，
故答案为：14
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
16．已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设P（x，y），则A（x，0），B（0，3y）．可得M的坐标，代入直线1：+=1，可得点P的迹方程．
【详解】
设P（x，y），则A（x，0），B（0，3y）．
∴M（x，3y）．
代入直线1：+=1，可得．
故答案为：
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定M的坐标是关键．
评卷人
得分
三、解答题
17．在中，，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合正弦定理可得sinC的值是
(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得，然后利用三角形 面积公式可得△ABC的面积是.
试题解析：
(1)根据正弦定理
(2)当时,,∴
中
18．设命题实数满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中，命题实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【详解】
对于命题p:，
其中，∴，
则，.
由，解得，即.
（1）若解得，若为真，则同时为真，
即，解得，∴实数的取值范围
（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
∴，即，解得
【点睛】
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．
19．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an＝.（2）Tn＝2n－1.
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.
试题解析:
(1)设{an}的公差为d，由已知得
解得a1＝1，d＝，
故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，
故{bn}的前n项和Tn＝＝2n－1.
点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错．
20．设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
令f（m）=m（x2﹣1）﹣2x+1，由条件f（m）＜0对满足|m|≤2的一切m的值都成立，利用一次函数的单调性可得：f（﹣2）＜0，f（2）＜0．解出即可．
【详解】
令f（m）=m（x2﹣1）﹣2x+1，由条件f（m）＜0对满足|m|≤2的一切m的值都成立，
则需要f（﹣2）＜0，f（2）＜0．
解不等式组，解得，
∴x的取值范围是．
【点睛】
本题考查了一次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.
【答案】只要截长的零件12个，就能获得最大利润
【解析】
【分析】
先画出满足条件的平面区域，求出M的坐标，找出M附近的点的坐标，代入求出即可．
【详解】
设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z=20x+15y﹣（x+0.6y）即z=19x+14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图：
由，解得：M（，），
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为（3，8），此时z=19×3+14.4×8=172.2（元），
又可行域的另一顶点是（0，12），过（0，12）的直线使z=19×0+14.4×12=172.8（元），
过顶点（8，0）的直线使z=19×8+14.4×0=152（元），
M（7（20），7（60））附近的点（1，10）、（2，9），
直线z=19x+14.4y过点（1，10）时，z=163；过点（2，9）时z=167.6，
∴当x=0，y=12时，z=172.8元为最大值；
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．
【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
