江苏省东海县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省东海县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省东海县2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 命题“∀x∈R，x2-x≤‎0”‎的否定是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（　　）‎ A. 672 B. ‎673 ‎C. 674 D. 675‎ 5. 对于下列四个条件： ①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；  ②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）； ③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；  ④{an}的前n项和（n∈N*）． 能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 6. 已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ 7. 如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. 2或4‎ 11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（　　）‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. 若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤‎0”‎是真命题，则实数t的取值范围是______．‎ 江苏省东海县2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 命题“∀x∈R，x2-x≤‎0”‎的否定是（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（　　）‎ A. 672 B. ‎673 ‎C. 674 D. 675‎ 5. 对于下列四个条件： ①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；  ②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）； ③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；  ④{an}的前n项和（n∈N*）． 能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 6. 已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（　　）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ 7. 如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. 2或4‎ 11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（　　）‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. 若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤‎0”‎是真命题，则实数t的取值范围是______．‎ 1. 在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．‎ 2. 若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=‎3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 4. 已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（‎2a+2）m+a2+‎2a≤0． （1）若命题p为真，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 5. 在数列{an}中，，（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值． ‎ 6. 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1． （1）求二面角P-AD-B的大小； （2）求点B到平面PAD的距离．‎ ‎ ‎ 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上． （1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程； （2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F‎2M，求椭圆E的离心率．‎ ‎ ‎ 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）求证：为定值； （2）求△AOB面积的最大值．‎ ‎ ‎ 3. 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1． （1）求a1，a2； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“∀x∈R，x2-x≤‎0”‎的否定是：∃x∈R，x2-x＞0． 故选：C． 全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：双曲线的渐近线方程：y=±2x． 故选：A． 直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由0＜x＜，得0＜sinx＜； 反之，由0＜sinx＜，得或＜x＜π+2kπ，k∈Z． ∴“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的充分不必要条件． 故选：A． 由0＜x＜，得0＜sinx＜；反之不成立．再由充分必要条件的判定得答案． 本题考查充分必要条件的判定，考查三角不等式的解法，是基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，x，1-x，3x，成等差数列， 所以2（1-x）=x+3x，解得x=， 所以数列{an}的公差d=（1-x）-x=， 所以a2019=a1+（2019-1）×d==673． 故选：B． 根据等差中项的性质计算出x值，即可得到公差，进而得到所求． 本题考查了等差中项的性质．考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；数列{an}的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， ②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误． ③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；对于数列{an}的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确．  ④{an}的前n项和（n∈N*）．不符合所以，不为等差数列．故错误． 故选：B． 直接利用数列的关系式的应用判断数列为等差数列． 本题考查的知识要点：等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：数列{an}的通项公式， 必要性：若an＜an+1（n∈N*），则=2n+1‎-2a＞0恒成立， 即a＜对任意n∈N*恒成立，则a＜； 充分性：当a＜时，=2n+1‎-2a＞0对任意n∈N*恒成立， 即an＜an+1（n∈N*）． ∴“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜”， ∴M的值等于． 故选：C． 求出an＜an+1（n∈N*）成立的a的范围，再由a＜时，an＜an+1（n∈N*）恒成立，可得M的值为． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：取BD中点E，连结ME，NE， ∵在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点， AB=6，CD=4，， ∴ME∥AB，ME==3， NE∥CD，NE==2， ∴∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角）， cos∠MEN===-， ∴异面直线AB，CD所成角的余弦值为． 故选：C． 取BD中点E，连结ME，NE，则ME∥AB，ME==3，NE∥CD，NE==2，从而∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB，CD所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）， 所以=＜1， 当m=0时，． 故，整理得． 故选：C． 直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果． 本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：双曲线的a=， A（-，0），B（，0）， 设P（m，n），m≠±， 则-=1，即n2=4（-1）， 则tanα=，tan（π-β）=-tanβ=， 则-tanαtanβ==‎ ‎， 即tanαtanβ=-， 故选：A． 求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值． 本题考查双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式，考查计算能力，属于基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，由a3=2，S4=3S2， 可得：q≠1，a1q2=2，=3×， 解得：a1=2，q=-1；a1=1，q2=2． 则a5=2或4． 故选：D． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn， 设首项为a1，公差为d，且a2+a3=8，S7=49； 所以，整理得 解得， 所以an=1+2（n-1）=2n-1， 数列{bn}满足①， 当n≥2时，②， ①-②得， 所以， 所以当n=1时， 当n=2时，， 当n=3时，＞b4＞b5＞…， 故当n=2时，为最大值． 故选：D． 首先利用等差数列的关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的递推关系式的应用求出数列{bn}的通项公式，进一步利用数列的单调性的应用求出最大值． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+2； 由，得：（1+2k2）x2+8kx+6=0；  ，； y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4； 由∠AOB=90°，即，， 即，解得k2=5； 又k＞0，则 ； 故选：C． ∠AOB=90°，即，，然后方程联立韦达定理代入即可得出． 本题考查了垂直关系的处理，考查设而不求的思想方法，属于基础题． ‎ ‎13.【答案】[5，+∞） ‎ ‎【解析】解：若∃n∈N*，n2-nt+6≤0， 则∃n∈N*，t， 所以只需要t大于等于n+最小值即可． 当n∈N* 时，n+≥5． 所以，t≥5， 故答案为：[5．+∞）． 若∃n∈N*，n2-nt+6≤0，则∃n∈N*，t，存在性问题中，只需要t大于等于n+最小值即可，对于n+最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t的取值范围． 本题考查存在性问题求参数t取值范围，是中档题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：正项等比数列{an}中，由++， ∴=++=， 则=． 故答案为：． 利用等比数列的性质即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为，{an+1-an}为等差数列，又因为其首项a2-a1=1，公差为（a3-a2）-（a2-a1）=2-1=1， 所以an+1-an=1+（n-1）×1=n， 所以， 所以an-a1=， 所以an=， 故答案为：． 先根据题意计算出{an+1-an}的表达式，再用累加法求an即可． 本题考查了等差数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）， 过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=‎3F2B，AB=BF1， 设F2B=x，则AF2=3x，AB=BF1=4x，根据椭圆的定义，整理得AF1=2x， 由于△AF1B为等腰三角形，所以， 利用余弦定理， 整理得， 解得， 故， 所以‎2a=5x=， 解得：a=，由于c=2，所以b=‎ ‎， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 首先利用椭圆的定义求出a、b、c的值，进一步求出椭圆的方程． 本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17.【答案】解：（1）若命题p为真，即方程表示双曲线， 所以（m-3）（m+1）＜0， 解得-1＜m＜3，即m∈（-1，3）． （2）若命题q为真， 即不等式m2-（‎2a+2）m+a2+‎2a≤0成立， 解得m∈[a，a+2]， 因为p是q的必要条件，所以[a，a+2]⊆（-1，3）， 故解得-1＜a＜1． 所以实数a的取值范围为（-1，1）． ‎ ‎【解析】（1）结合命题p是真命题，以及双曲线方程的特点进行求解即可． （2）根据条件分别求出命题为真命题的等价条件，结合必要条件的定义进行转化求解即可． 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．比较基础． 18.【答案】解：（1）由得， 因为， 所以an≠0，所以， 所以是为首项，为公比的等比数列， 所以， 即， 所以，数列{an}的通项公式为； 证明：（2）由（1）知， 所以， 于是， 所以， 综上，为定值2． ‎ ‎【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 19.【答案】解：（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足， 在△PBC中，PB=PC=BC=2，所以．在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD=E， 连结PE，由已知ABCD为矩形，易知AEOB也是矩形，故OE=1． 又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD=BC， PO⊂平面PBC，所以PO⊥底面ABCD， 而AD⊂底面ABCD，所以PO⊥AD， 又OE⊥BC，AD∥BC，所以OE⊥AD， 而PO⊆平面POE，OE⊆平面POE， PO∩OE=O，所以AD⊥平面POE， 因为PE⊂平面POE，所以AD⊥PE， 又因为AD⊥OE，所以∠OEP是二面角P-AD-B的平面角． 因为PO⊥底面ABCD，OE⊂底面ABCD，所以PO⊥OE， 在Rt△POE 中，， 所以∠OEP=60°，故二面角P-AD-B的大小为60°． （2）因为AD∥BC，而AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， 所以BC∥平面PAD，又O∈BC，B∈BC， 所以，点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离． 在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足， 由（1）知AD⊥平面POE，而OH⊂平面POE，所以AD⊥OH， 又AD∩PE=E，AD⊂平面PAD，PE⊂平面PAD，所以OH⊥平面PAD， 所以，点O到平面PAD的距离即为OH的长． 在Rt△POE中，OH•PE=OP•OE， 即， 综上，点B到平面PAD的距离为． ‎ ‎【解析】（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足，在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD=E，连结PE，由已知ABCD为矩形，推导出PO⊥底面ABCD，PO⊥AD，OE⊥BC，从而OE⊥AD，AD⊥平面POE，AD⊥PE，再由AD⊥OE，得∠OEP是二面角P-AD-B的平面角．由此能求出二面角P-AD-B的大小． （2）推导出BC∥平面PAD，从而点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离．     在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足，推导出OH⊥平面PAD，从而点O到平面PAD的距离即为OH的长．     由此能求出点B到平面PAD的距离． 本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】解：（1）设椭圆E焦距为‎2c，则， 所以c2=a2-b2=2．  ① 又点在椭圆E：上，所以．  ② 联立①②解得  或（舍去）． 故椭圆E的方程为． （2）设椭圆E焦距为‎2c，则F1（-c，0），F2（c，0）， 由代入得， 不妨设点P在x轴上方，故点P坐标为， 又点M为PF1中点，故点M坐标为； 所以，， 由OP⊥F‎2M得，即，化简得a2‎-6ac+3b2=0； 将b2=a2-c2代入得‎3c2+‎6ac-4a2=0，即， 所以3e2+6•e-4=0，解得，因为e∈（0，1）， 故椭圆E的离心率为． ‎ ‎【解析】（1）由题意c=，然后将P点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程； （2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得PF1的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率． 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题． 21.【答案】解：（1）证明：当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1， 点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）． 联立，得（2k2+1）x2+4kx-2=0， 其判别式△=（4k）2+8（2k2+1）＞0， 所以，． y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1， 从而，=x1x2+（y1-1）（y2-1）+（x1x2+y1y2） =2（k2+1）x1x2+k（x1+x2）‎ ‎+1 = ，=． 当直线AB斜率不存在时，． 所以当时，为定值-3． （2）显然直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+1， 由（1）知，． 所以△AOB的面积=． 设，则0＜t≤1，因此， 当且仅当t=1，即k=0时，△AOB的面积取得最大值． ‎ ‎【解析】（1）将椭圆方程与直线方程联立，韦达定理表示出来，然后将的坐标表示出来，将韦达定理代入可得； （2）用（1）中的结论表示出三角形的面积，然后求最值． 本题考查了向量的坐标运算，方程联立韦达定理的设而不求的思想，三角形面积的求法，属于中档题． 22.【答案】解：（1）令n=1得，故‎2a1=a12+1，于是a1=1． 令n=2得，故， 又a1=1，故a2=2． （2）由，① 可知，当n≥2时，，② ①-②，得， 故，于是an-1=an-1或an-1=-an-1，若an-1=-an-1，则an+an-1=1，不合题意； 于是an-1=an-1，即an-an-1=1，即数列{an}是公差为1的等差数列．又a1=1， ∴an=1+（n-1）×1=n．故an=n． （3）依题意知∀n∈N*，都成立， 由基本不等式得 = = ==2，当且仅当|tanθ|=1时取“=”， 所以的最大值为2， 所以λ≥2，实数λ的最小值为2． ‎ ‎【解析】（1）令n=1得，令n=2求解数列的前两项． （2）通过数列的递推关系式推出，转化求解数列的通项公式an=n． （3）依题意知∀n∈N*，都成立，然后通过基本不等式化简求解即可． 本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． ‎