- 2021-06-19 发布 |
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文档介绍
高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-9-1圆锥曲线中求值与证明问题练习理北师大版
10.9.1 圆锥曲线中求值与证明问题 核心考点·精准研析 考点一 求值问题 1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+= ( ) A. B.2 C. D.3 2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上. 若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2, 根据椭圆和双曲线定义: |AB|+|BC|=2a1, |BC|-|AB|=2a2, 可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,设AC=2c, - 15 - 在直角三角形ABC中,由勾股定理可得, 4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2, 即+=2. 2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|, 由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|), =|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|, 又|DE|=|AF|=|DF|,则|EF|=(-1)|DF|, |AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因为S△AFC=2+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2. 3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2 - 15 - 得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±. 所以直线PB的斜率为或-. 1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),则所得弦长: |P1P2|=|x1-x2|= ==|y1-y2|. (2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式). 2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可. 3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值. 秒杀绝招 题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5, 则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=; 在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5. - 15 - 所以+=+=2. 考点二 证明问题 命 题 精 解 读 1.考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). (2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等. 2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等. 3.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等. 学 霸 好 方 法 1.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明. 2.交汇问题:数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等. 证明数量关系 【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐标. (3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR. 【解题导思】 序号 题目拆解 (1) 根据已知条件求标准方程中的参数值 由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求. - 15 - (2) ①求AP与AM的关系 将两个三角形面积比转化为AP与AM的关系. ②求M的纵坐标 利用向量关系建立坐标的方程求解. (3) ①求R点坐标 直线l与x轴的交点 ②求P点坐标 联立方程组求解,利用根与系数的关系求得P的坐标 ③建立点的坐标之间的关系 利用三点共线——斜率相等建立坐标关系 ④证明数量等式 证明两个角的三角函数(正切)值相等,范围相等. 【解析】(1)由题意得 解得 因为a2-b2=c2,所以b2=3. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)因为△PAF与△PMF的面积之比为, 所以|AP|=|PM|.所以=. 设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=(6,m),解得x0=-1,y0=. 将其代入+=1,解得m=±9. 所以M的坐标为(4,9)或(4,-9). (3)设M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由题知R(4,0), 若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意. - 15 - 所以m≠0.同理n≠0. 直线AM的方程为y=(x+2). 由 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0. Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立. 由-2x0=,解得x0=. 所以y0=(x0+2)=. 所以P. ①当PF⊥x轴时, 即|m|=3时,|n|=3,=1, 由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3. 又因为∠MRF=∠NRF=90°, 所以∠MFR=∠FNR=45°. ②当直线PQ与x轴不垂直时, |m|≠3,|n|≠3, 直线FP的斜率kFP==. - 15 - 同理kFQ=.因为P,F,Q三点共线, 所以=.所以mn=-9. 在Rt△MRF和Rt△NRF中, tan∠MFR==,tan∠FNR===,所以tan∠MFR=tan∠FNR. 因为∠MFR,∠FNR均为锐角, 所以∠MFR=∠FNR. 综上,若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR. 数量关系证明的一般方法是什么? 提示:数量关系的证明,一般采用直接法,即直接利用坐标运算进行证明.当然要结合函数的一些性质,如该题就是先证明两个角的正切函数值相等,而且角的范围是正切函数的单调区间,所以两角相等. 证明位置关系 【典例】(2019·大连模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为16. (1)求椭圆E的方程. (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线. 【解题导思】 序号 题目拆解 (1) 求标准方程中的参数 根据已知离心率与三角形的周长列方程组求参数 (2) ①求直线OM的斜率 根据点差法,建立弦AB的中点M与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线OM的斜率 - 15 - ②求直线ON的斜率 根据点差法,建立弦CD的中点N与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线ON的斜率 ③证明三点共线 证明两直线OM,ON斜率相等 【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=,所以c=2,b==2,所以椭圆E的方程为+=1. (2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线; 当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k≠0), 且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). 则 + = 1, + = 1, 相减得 =- , 所以·=-,即·=-, 即k·kOM=-,所以kO M=-; 同理可得kO N=-,所以kO M=kO N, 所以O,M,N三点共线. 位置关系的证明的一般思路是什么? 提示:位置关系的证明,多通过位置关系的坐标化处理,将其转化为数量关系的证明,故一般多利用直接证明方法,即直接通过代数运算证明. - 15 - 1.(2020·济南模拟)已知抛物线W:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在W上,AF的中点坐标为(2,2). (1)求抛物线W的方程. (2)若直线l与抛物线W相切于点P(异于原点),与抛物线W的准线相交于点Q,证明:FP⊥FQ. 【解析】(1)由题知F, 设A,因为AF的中点坐标为(2,2), 所以解得:xA=4,p=4. 所以抛物线W的方程为:x2=8y. (2)由y=x2,得y′=x, 设点P(x0≠0),则直线l的方程为y-= x0 (x-x0 ),即为y = x0 x-, 令y=-2,得Q, 所以=,=, 所以·=x0×-4=0, 所以FP⊥FQ. 2.(2020·长沙模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点. - 15 - (1)若以A,B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程. (2)过A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上. 【解析】(1)设AB中点为M,A到准线的距离为d1,B到准线的距离为d2,M到准线的距离为d.则d=yM+,由抛物线的定义可知,d1=|AF|,d2=|BF|, 所以d1+d2=|AB|=8, 由梯形中位线可得d==4, 所以yM+=4,而yM=3,所以3+=4,可得p=2, 所以抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由x2=2py得y=,则y′=, 所以直线l1的方程为y-y1=(x-x1),直线l2的方程为y-y2=(x-x2), 联立得x=,y=,即l1,l2交点坐标为.因为AB过焦点F, 所以设直线AB方程为y-=kx,代入抛物线x2=2py中得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2, 所以==-,所以l1,l2的交点在定直线y=-上. 1.过椭圆W:+y2=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A,B两点,其中A(0,1),另一条过F1的直线l2交椭圆于C,D两点(不与A,B重合),且D点在x轴下方且不与点(0,-1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD,BC于E,G. - 15 - (1)求B点坐标和直线l1的方程. (2)求证:|EF1|=|F1G|. 【解析】(1)由题意可得直线l1的方程为y=x+1.与椭圆方程联立,得 可求得B. (2)当l2与x轴垂直时,C,D两点与G,E两点重合,由椭圆的对称性,|EF1|=|F1G|. 当l2不与x轴垂直时,设C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程为y=k(x+1)(k≠1). 由 消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0. 则x1+x2=,x1x2=. 由已知,x2≠0, 则直线AD的方程为y-1=x,令x=-1,得点E的纵坐标yE=. 把y2=k(x2+1)代入得yE=. 由已知,x1≠-,则直线BC的方程为y+=,令x=-1,得点G的纵坐标yG=. - 15 - 把y1=k(x1+1)代入得yG=. yE+yG=+ = =. 把x1+x2=,x1x2=代入到 2x1x2+3(x1+x2)+4中,则 2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0. 即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|. 2.(2020·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程. (2)若点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上不同于A,B的动点,直线AP与直线x=a交于点Q,证明:以线段BQ为直径的圆与直线PF相切. - 15 - 【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,,解得a=2,b=,c=1,故椭圆C的标准方程为+=1. (2)方法一:①设点P的坐标为(x0,y0),x0≠±2, 因为P在椭圆上,所以+=1,所以=3-, 由A,B两点的坐标为(-2,0),(2,0),所以直线AP的方程为:y=(x+2), 当x=2时y=,则点Q的坐标为, 设线段BQ的中点为T,则点T的坐标为,有|BT|=, 当x0≠1时,直线PF的方程为:y=(x-1),整理为y0x-(x0-1)y-y0=0, 由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2, - 15 - 则点T到直线PF的距离为d=== =, 由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切. ②当x0=1时,则点P的坐标为或,直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2,-2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又点T到直线PF的距离d=1, 由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切. 方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0). 依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y=k(x+2), 设点P的坐标为(x0,y0),由,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 所以-2+x0=,所以x0=, 所以y0=k(x0+2)=, 所以P的坐标为. 因为直线AP与x=2交点为Q, 所以Q的坐标为(2,4k),B(2,0), 所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为|2k|. - 15 - ①当直线PF的斜率存在,即≠1,k2≠时直线PF的方程为y=(x-1),即y=(x-1),整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0, 设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d,则 d====|2k|, 所以以BQ为直径的圆与直线PF相切. ②当直线PF的斜率不存在,即k2=时,直线PF的方程为x=1.圆心坐标为(2,±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线PF相切. - 15 -查看更多