湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题 Word版含解析

湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 湖南省株洲市2019届高三教学质量统一检测（一）‎ 理科数学试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再根据并集定义求结果.‎ ‎【详解】因为，所以，选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎2.在区间上任意取一个数，使不等式成立的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.‎ ‎【详解】由得，所以所求概率为，选D.‎ ‎【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ - 20 -‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列满足，，则（ ）‎ A. 64 B. 32 C. 16 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求 详解】由得选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎4.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据欧拉公式计算，再根据复数几何意义确定象限.‎ ‎【详解】因为，所以对应点，在第二象限，选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ - 20 -‎ ‎5.已知、是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先作可行域，再根据图象确定的最大值取法，并求结果.‎ ‎【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以的最大值为BD=,选A.‎ ‎【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎6.若均不为1的实数、满足，且，则（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.‎ ‎【详解】当时; 当时; 当时;‎ 因为，，所以，‎ 综上选B.‎ ‎【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.‎ ‎【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为 ‎,‎ - 20 -‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.‎ ‎8.如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积为，则函数的图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据条件列，再根据函数图象作判断.‎ ‎【详解】当时，;‎ 当时，;‎ 根据正切函数图象可知选D.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.‎ ‎9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为6、8、0，则输出和的值分别为（ ）‎ A. 0，3 B. 0，4 C. 2，3 D. 2，4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行循环，直至终止循环输出结果.‎ ‎【详解】执行循环，得，结束循环，输出，此时,选C.‎ ‎【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10.已知函数的图像关于轴对称，则的图像向左平移（ ）个单位，可以得到的图像（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据条件确定关系，再化简，最后根据诱导公式确定选项.‎ ‎【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以，，即，因此，‎ 从而,选D.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.‎ ‎11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的四个顶点，其中，，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设抛物线标准方程，将条件转化为坐标，代入解出，即得结果.‎ ‎【详解】不妨设抛物线标准方程，可设，‎ 则，即抛物线的焦点到其准线的距离是，选B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎12.已知正方体的棱长为2，为的中点.若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.‎ ‎【详解】显然在正方体中平面,所以 ,‎ 取AC中点E, 取AE中点O,则,‎ 取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q 从而平面,四边形为等腰梯形，‎ 周长为，选A.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知双曲线C：，点P (2，1) 在C的渐近线上，则C的率心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x轴上，结合P (2，1)在渐近线上，所以即所以，从而有其离心率．‎ 考点：双曲线的离心率．‎ ‎14.的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答）‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.‎ - 20 -‎ ‎【详解】因为，‎ 所以令得，即常数项为 ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15.设的外心满足，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.‎ ‎【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.‎ ‎【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.‎ ‎16.数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】3993‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件确定前2019项有多少个1和2，再求和得结果.‎ ‎【详解】第个1为数列第项，‎ 当时；当时；‎ - 20 -‎ 所以前2019项有45个1和个2，‎ 因此 ‎【点睛】本题考查数列通项与求和，考查综合分析与求解能力，属难题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角、、的对边分别是、、，已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ） 若角为锐角，求的值及的面积.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据二倍角余弦公式求 ，再根据正弦定理求的值；（Ⅱ）根据余弦定理求的值，再根据三角形面积公式求面积.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得 因为，∴‎ 由，，‎ 由正弦定理得 ‎（Ⅱ）角为锐角，则 由余弦定理得即，或（舍去）‎ 所以的面积 ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ - 20 -‎ ‎18.如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平几知识得，，再根据线面垂直判定定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论;（Ⅱ）根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ），是的两个三等分点，‎ 易知，是正方形，故 又，且 所以面 又面 所以面 ‎ ‎（Ⅱ）过作于，过作的平行线交于，则面 又所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系 则，，，‎ 所以，，，‎ - 20 -‎ 设平面的法向量为 则∴ ‎ 设平面的法向量为 则∴ ‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．‎ ‎19.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.‎ - 20 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆标准方程（Ⅱ）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入 中化简即可求出.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，，，‎ ‎∵的周长为6，∴‎ ‎∴，∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在常数满足条件.‎ ‎（1）当过点的直线的斜率不存在时，，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴当时，；‎ ‎（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，‎ 联立，化简得，‎ ‎∴，.‎ ‎∴ ‎ - 20 -‎ ‎ ‎ ‎∴，解得：即时，；‎ 综上所述，当时，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.‎ ‎20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.‎ ‎（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.‎ ‎①当，时，求的分布列；‎ ‎②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，‎ 设事件：3人中恰有1人检测结果阳性，则其概率 ‎ - 20 -‎ ‎（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为 ‎②分组时，每人检验次数的期望如下 ‎∴‎ 不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即 ‎ 所以当时，用分组的办法能减少检验次数.‎ ‎【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.‎ ‎21.已知函数，其中为大于零的常数 ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ - 20 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间; （Ⅱ）先根据参变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ，‎ ‎（1）当时，，在上单调递增 ‎ ‎（2）当时，设方程的两根为，‎ 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在，上单调递增，上单调递减 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，‎ 由∴‎ 因为 所以 ‎ 设，‎ 令 当时，‎ - 20 -‎ 故在上单调递减，所以 综上所述，时，恒成立.‎ ‎【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为，.‎ ‎（Ⅰ）求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（Ⅱ）利用极坐标的极径的几何意义分别求 ，根据 求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）‎ 消参得：，‎ 由 代入直角坐标方程可得 ‎ - 20 -‎ ‎ （Ⅱ）法1：由 得，所以 ‎ 点的极坐标 ，又点在直线上，所以设的极坐标为 ‎ 由得，所以，‎ 所以. ‎ 法2：曲线与曲线的直角坐标为，‎ 由 得点的坐标 ‎ 所以直线的方程为 由 得点的坐标为 ‎ 所以，‎ ‎ ‎ 或者： ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.‎ ‎23.已知函数（为实数）‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，解不等式.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（Ⅰ）根据绝对值不等式的性质即可求出的最小值（Ⅱ）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）时，‎ 所以的最小值为1‎ ‎（Ⅱ）①时，，，‎ 因为 所以此时解得： ‎ ‎②时，，，‎ 此时： ‎ ‎③时，，，此时无解； ‎ 综上：不等式的解集为 ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 20 -‎ ‎ ‎ - 20 -‎