2018-2019学年福建省宁德市高二下学期期末数学理试题 解析版

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绝密★启用前 福建省宁德市2018-2019学年高二下学期期末数学理试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数，则其共轭复数对应的点在复平面上位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的乘法求出复数，再根据共轭复数的定义求出复数，即可得出复数在复平面内对应的点所处的象限。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 所以， 复数在复平面对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，五次测试中恰有三次测到正品，则有两次测到次品，‎ 根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立重复试验概率的计算，主要考查学生对于事件基本属性的判断以及对公式的理解，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎3．在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（ ）‎ A．y＝a+bx B．y＝c+d C．y＝m+nx2 D．y＝p+qex（q＞0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除选项，故选.‎ ‎4．设随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态密度曲线的对称性得出，再由 可计算出答案。‎ ‎【详解】‎ 由于随机变量服从正态分布，‎ 由正态密度曲线的对称性可知，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎5．函数的单调增区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，并解不等式可得出函数的单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ ‎，，令，得或，‎ 因此，函数的单调递增区间为，，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法：‎ ‎（1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。‎ 同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。‎ ‎6．已知离散型随机变量服从二项分布，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项分布期望公式求出，再由方差公式可计算出答案。‎ ‎【详解】‎ 由于离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，‎ 因此，，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题。‎ ‎7．8张卡片上分别写有数字，从中随机取出2张，记事件“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式 可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 事件为“所取张卡片上的数字之和为小于的偶数”，以为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、、、、，共个，‎ 由古典概型的概率公式可得，‎ 事件为“所取张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，‎ 由古典概型的概率公式可得，因此，，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎8．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性以及函数值正负与趋势确定选项.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且,∴是偶函数，故排除B项；‎ 又∵时，;时，，所以排除A,D项；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎9．由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，‎ ‎ ‎ 联立，得，则直线与曲线交于点，‎ 结合图形可知，所求区域的面积为 ‎ ，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。‎ ‎10．函数在上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 令，由于，得.‎ 当时，；当时，。‎ 因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，‎ ‎，，因此，，‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：‎ ‎（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性；‎ ‎（2）求出函数的极值；‎ ‎（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值。‎ ‎11．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ）‎ A．30 B．36 C．60 D．72‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案。‎ ‎【详解】‎ 记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，‎ 记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，‎ 事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，‎ 因此，出场顺序的排法种数 种，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理 来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎12．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数为奇函数得出，将不等式转化为，即 ‎，利用函数的单调性可求解。‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则，‎ 所以，函数在上单调递减，‎ 由于函数为奇函数，则，则，‎ ‎，‎ 由，得，即，所以，，‎ 由于函数在上为单调递减，因此，，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性解函数不等式问题，解决本题的关键在于构造新函数，一般而言，利用构造新函数来解函数不等式的基本步骤如下：‎ ‎（1）根据导数不等式结构构造新函数；‎ ‎（2）对函数求导，确定函数的单调性，必要时分析函数的单调性；‎ ‎（3）将不等式转化为，利用函数的单调性得出与的大小关系。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．定积分__________．‎ ‎【答案】e ‎【解析】‎ ‎.‎ 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 ‎(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；‎ ‎(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；‎ ‎(3)确定被积函数；‎ ‎(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．‎ ‎2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ ‎14．的展开式中项的系数为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式表示为，然后利用二项式定理写出其通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，的展开式通项为 ‎，令，得，‎ 所以，展开式中项的系数为，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式中指定项的系数，考查二项式展开式通项的应用，这类问题的求解一般要将展开式的通项表示出来，通过建立指数有关的方程来求解，考查运算能力，属于中等题。‎ ‎15．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为 ‎，结合导数求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，其中，则。‎ 由于函数存在单调递增区间，则，使得，‎ 即，，构造函数，则。‎ ‎，令，得。‎ 当时，；当时，。‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，‎ 所以，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：‎ ‎（1）函数在区间上单调递增，；‎ ‎（2）函数在区间上单调递减，；‎ ‎（3）函数在区间上存在单调递增区间，；‎ ‎（4）函数在区间上存在单调递减区间，；‎ ‎（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点。‎ ‎16．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：‎ ‎.记作数列，若数列的前项和为，则___ .‎ ‎【答案】2059‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。‎ ‎【详解】‎ 将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：‎ 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，‎ 设位于第，则，所以，，‎ 且第行最后一项在数列中的项数为，‎ 所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，‎ 第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，‎ 因此，‎ ‎ ，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设复数，复数．‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值.‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先由复数的加法法则得出，再利用复数的乘方得出，并表示为一般形式，由虚部为零求出实数的值；‎ ‎（Ⅱ）解法1：利用复数的除法法则求出，并表示为一般形式，利用复数相等列方程组，求出实数与的值；‎ 解法2：由变形为，利用复数的乘法将等式左边复数表示为一般形式，再利用复数相等列方程组求出实数与的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）=== ‎ 因为，所以，，；‎ ‎（Ⅱ）解法1：，所以，因此，；‎ 解法2：，则，‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等求未知数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部和虚部，再由复数列方程组求解即可，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎18．若，且.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值; ‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）解法1：将展开，找出项的系数表达式，结合条件列方程求出的值；‎ 解法2：利用二项式定理写出的通项，令的指数为，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出的系数的表达式，结合条件列方程求出实数的值；‎ ‎（Ⅱ）解法1：令代入题干等式求出的值，再令可得出的值，减去可得出，再乘以可得出答案；‎ 解法2：利用二项式定理求出、、、、、、的值，代入代数式可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解法1：因为，所以，‎ 解法2：，，‎ 所以。‎ ‎（Ⅱ）解法1：当时，，当时，，‎ ‎，；‎ 解法2：由二项展开式分别算出，‎ 代入得：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎19．宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：‎ 月收入 ‎[3，4)‎ ‎[4，5)‎ ‎[5，6)‎ ‎[6，7)‎ ‎[7，8)‎ ‎[8，9)‎ 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 有意向购买中档轿车人数 ‎2‎ ‎12‎ ‎26‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎2‎ 将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”．‎ ‎（Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？‎ 非中等收入族 中等收入族 总计 有意向购买中档轿车人数 ‎40‎ 无意向购买中档轿车人数 ‎20‎ 总计 ‎100‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式计算出“至少有名市民有意向购买者中档轿车”的对立事件“没有市民愿意购买中档轿车”的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率；‎ 解法2：将事件“至少有名市民购买中档轿车”分为两个基本事件，分别利用古典概型概率公式计算出这两个基本事件的概率，再将两个概率相加可得出答案；‎ ‎（Ⅱ）列出列联表，并计算出的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，即可下结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）记“至少有1名市民有意向购买中档轿车”为事件A.‎ 解法1：；‎ 解法2：，‎ 所以至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率；‎ ‎（Ⅱ）完善下面的2×2列联表如下：‎ 非中等收入族 中等收入族 总计 有意向购买中档轿车 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 无愿向购买中档轿车 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎，‎ 故有90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关．‎ 如果学生答案如下也可得分：‎ 没有充分的证据表明有意向购买中高档轿车与收入高低有关。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验，在求解含有“至少”的事件的概率中，可以采用对立事件的概率来简化计算，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎20．已知曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求值.‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；‎ ‎（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数 的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；‎ 解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）解法1：，‎ 函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，‎ 当时，在单调递减，‎ 当时，在单调递增，‎ 时，取得极小值，‎ 又时，；时，，；‎ 解法2：，‎ ‎，‎ 当时，在上单调递减，‎ 当时，在上单调递增，‎ 时，取得极小值，‎ 又时，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：‎ ‎（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；‎ ‎（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率。‎ ‎21．夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚. 某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.‎ ‎（Ⅰ）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成.根据统计，“可变成本”（元）与饮品数量（瓶）有关系.与之间对应数据如下表：‎ 饮品数量（瓶）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 可变成本（元）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ 依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？‎ ‎（Ⅱ）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。如果当天前8小时卖不完，则通过促销以每瓶5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余冷饮料都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进)．该店统计了去年同期100天该饮料在每天的前8小时内的销售量(单位：瓶)，制成如下表：‎ 每日前8个小时 销售量（单位：瓶）‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 频数 ‎10‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎15‎ 若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，若当天购进18瓶，求当天利润的期望值.‎ ‎（注：利润=销售额购入成本 “可变本成”）‎ 参考公式：回归直线方程为，其中 参考数据：， .‎ ‎【答案】(Ⅰ)，可变成本”约为元；(Ⅱ)利润的期望值为元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将关于之间对应的数据代入最小二乘法公式求出与，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程可得出“可变成本”的值；‎ ‎（Ⅱ）根据利润公式分别算出当销量分别为瓶、瓶、瓶、瓶时的利润和频率，列出利润随机变量的分布列，结合分布列计算出数学期望值，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），，，，‎ ‎，，‎ 所以关于的线性回归方程为：当时，，‎ 所以该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为元；‎ ‎（Ⅱ）当天购进18瓶这种冷饮料，用表示当天的利润（单位：元），‎ 当销售量为15瓶时，利润，；‎ 当销售量为16瓶时，利润，；‎ 当销售量为17瓶时，利润，；‎ 当销售量为18瓶时，利润，；‎ 那么的分布列为：‎ ‎52.1‎ ‎62.1‎ ‎72.1‎ ‎82.1‎ 的数学期望是：，‎ 所以若当天购进18瓶，则当天利润的期望值为元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程以及随机变量的分布列与数学期望，在求解随机变量分布列时，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，掌握各分布类型的特点，考查分析问题能力与计算能力，属于中等题。‎