2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试文科数学试题（Word版）

2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试文科数学试题（Word版）

辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试 高二文科 数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 注意事项：‎ ‎1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，用铅笔把对应答案标号涂黑。回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。‎ 第I卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）复数的虚部是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）复数的共轭复数是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（3）复数在复平面上对应的点在 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（4）已知复数,其中.若是纯虚数，则 ‎（A） （B） （C）或 （D） ‎ ‎（5）已知复数，其中.若，则 ‎（A） （B） （C）或 （D） ‎ ‎（6）复数满足，则 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（7）复数满足，则的最大值是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（8）复数满足，则下列四个判断中，正确的个数是 ‎ ①有且只有两个解； ②只有虚数解；‎ ‎③的所有解的和等于； ④的解的模都等于；‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（9）为了表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度,我们常用下面四个量中的 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（10）在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点 （ ）‎ ‎（A）有且只有一个 （B）有且只有三个（C）有且只有四个 （D）有且只有五个 ‎ ‎（11）函数,已知在时取得极值,则的值为 ‎（A） （B） （C）和 （D）以上都不正确 ‎ ‎（12）角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ‎ ‎①； ②； ③；‎ ‎④； ⑤； ⑥.‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，第21题～第24题为选考题。‎ 三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）用反证法证明“已知,求证:这三个数中至少有一个不小于”时，所做出的假设为 . ‎ ‎（14）在平面几何中：已知是△内的任意一点，连结并延长交对边于，则.这是一个真命题，其证明常采用“面积法”.拓展到空间，可以得出的真命题是：已知是四面体内的任意一点，连结 并延长交对面于，则 . ‎ ‎（15）在研究函数()的单调区间时，有如下解法:‎ 设,在区间和区间上是减函数,因为与有相同的单调区间,所以在区间和区间上是减函数.‎ 类比上述作法,研究函数()的单调区间,其单调增区间为 .‎ ‎（16）某同学在一次研究性学习中发现：‎ 若集合满足：，则共有组；‎ 若集合满足：，则共有组；‎ 若集合满足：，则共有组.‎ 根据上述结果, 将该同学的发现推广为五个集合, 可以得出的正确结论是：若集合满足：，则共 有 组.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）(本小题满分12分) ‎ 为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学，结果如下：‎ 男 女 需要 ‎20‎ ‎10‎ 不需要 ‎10‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例（用百分数表示，保留两位有效数字）；‎ ‎（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导？说明理由.‎ 附： ‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎（Ⅱ）试对与的关系进行相关性检验,如与具有线性相关关系,求出对的回归直线方程；‎ ‎（Ⅲ）试预测加工个零件需要多少时间？‎ 参考数据：，.‎ 附：)；, ；‎ 相关性检验的临界值表 n-2‎ 小概率 n-2‎ 小概率 n-2‎ 小概率 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎1‎ ‎0.997‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0.811‎ ‎0.917‎ ‎7‎ ‎0.666‎ ‎0.798‎ ‎2‎ ‎0.950‎ ‎0.990‎ ‎5‎ ‎0.754‎ ‎0.874‎ ‎8‎ ‎0.632‎ ‎0.765‎ ‎3‎ ‎0.878‎ ‎0.959‎ ‎6‎ ‎0.707‎ ‎0.834‎ ‎9‎ ‎0.602‎ ‎0.735‎ ‎ 注：表中的n为数据的组数 ‎（19）(本小题满分12分) ‎ 已知数列满足,().‎ ‎(Ⅰ) 求,,,，并猜测的通项公式；‎ ‎(Ⅱ）试写出常数的一个值，使数列是等差数列；(无需证明)‎ ‎(Ⅲ）证明(Ⅱ）中的数列是等差数列，并求的通项公式.‎ ‎（20）(本小题满分14分) ‎ 已知函数()，设是的导函数.‎ ‎(Ⅰ) 求，并指出函数()的单调性和值域；‎ ‎(Ⅱ）若的最小值等于，证明：.‎ 请考生在第21、22题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎（21）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.‎ ‎（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ 请考生在第23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线:(其中)与圆的交点为，与直线的交点为；射线:与圆的交点为，与直线的交点为．求的最大值．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数，函数．当时，．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，的最大值等于．求．‎ 辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试 高二文科 数学参考答案 一．选择题：‎ ‎（1）-（4）BCDA （5）-（8）CCAD （9）-（12）CDBA 二．填空题：‎ ‎（13）假设这三个数都小于；‎ ‎（14）；‎ ‎（15）； ‎ ‎（16）．‎ 三．解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为 ‎ .……2分 ‎（Ⅱ），‎ 因为，‎ 所以有的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关.‎ ‎……8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论可知，该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关，并且从样本数据能看出该校高二年级同学男同学与女同学中需要学校提供学法指导的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法.这样的抽样比采用简单随机抽样方法更好. ……12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）散点图 ……2分 ‎（Ⅱ）由表中数据得：‎ ‎,,,,；‎ ‎ ‎ 从而有的把握认为与之间具有线性相关关系，因此求回归直线方程是有意义的.‎ 计算得：，，‎ 所以. ……10分 ‎（Ⅲ）将代入回归直线方程，得（小时）‎ 预测加工个零件需要小时. ……12分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）,,,，通项公式为； ……4分 ‎ ‎（Ⅱ）； ……6分 ‎（Ⅲ）因为()，‎ 所以 ().‎ 从而数列是首项为，公差为的等差数列，即().‎ 故(). 　 ……12分 ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意得：. ‎ 因为 ‎ 所以函数在上是单调增函数，值域为. ……６分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：有且只有一个解，设满足，‎ 则当时，；当时，.‎ 所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，是极小值.‎ 从而.‎ 因为函数 ()是减函数且，，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以. ……14分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）曲线的普通方程是，曲线是圆. ……5分 ‎（Ⅱ）点满足： 所以，即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 从而.‎ 所以.‎ 故直线的斜率为. ……10分 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）不等式成立，当且仅当与同时成立. ‎ 依题意解得，. ……5分 ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式得的最小值是 所以不等式的解集非空，当且仅当满足，‎ 即 ……10分 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.‎ 圆的普通方程分别是，‎ 所以圆的极坐标方程分别是. ……5分 ‎（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和 所以，，从而.‎ 同理，.‎ 所以，‎ 故当或时，‎ 的值最大，该最大值是. ……10分 ‎（24）‎ ‎（Ⅰ）证明：由题意得：即 所以，‎ 由于，‎ 所以当时，的最大值是或.‎ 所以. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意得，‎ 又因为，且 所以或 解得或（舍去）.‎ 又因为当时，，且，‎ 所以.‎ 故.‎ 即. ‎ 经检验，符合题意. ……10分