2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第四次统考数学（文）试题 Word版

2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期第四次统考数学（文）试题 Word版

舒城中学2018-2019学年度第二学期第四次统考 高二文数 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： ‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题 (共12小题，满分60分，每小题5分)‎ ‎1.已知集合，,则 ( )‎ A. B. {3} C.{2,3} D. ‎ ‎2．已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面， 下列命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，，，，则．‎ 其中错误命题的序号是　　‎ A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①②‎ ‎3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为,方差分别 为，则（　　）‎ A．， ‎ B．，‎ C．，‎ D．， ‎ ‎ 4．已知定义在上的奇函数满足：当时，，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设等差数列的前项和为，若，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.设执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个 数，则“”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．函数的图像大致为（ ） ‎ ‎ A B C ‎ D ‎ ‎8. 已知，为两个非零向量， 则“与共线”是“”的　　‎ A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 ‎ C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 ‎9.函数的图像如图所示，则使成立的m的最小正值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点、、在俯视图上的对应点为、、，则PA与C所成角的余弦值为（ ） ‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.已知椭圆的上下顶点为B、C，左右焦点为，直线与椭圆的另一个交点为D，若直线的斜率为，直线CD的斜率为，且，又的周长为8，则的面积为（ ）．‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎12．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)‎ ‎13.若复数满足（其中为虚数单位），则等于______．‎ ‎14.设x，y满足约束条件，若，则z的最大值为______．‎ ‎15．已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是　 　．‎ ‎16． 正四面体的棱长为6，其中平面，，分别是线段，的中点，以为轴旋转正四面体，且正四面体始终在平面的同侧，则线段在平面上的射影长的取值范围是　　．‎ 三．解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求任选一题作答）‎ ‎17．内接于半径为的圆，，，分别是，，的对边， 且，．‎ ‎（1） 求角的大小；‎ ‎（2） 若是边上的中线，，求的面积 ．‎ ‎18．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1500名学生（其中男生900人，女生600 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.‎ ‎（1）已知抽取的名学生中含女生20人，求的值及抽取到的男生人数；‎ ‎（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ （3） 在（2）抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取5名，再从这5名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.‎ ‎ 附：参考公式及数据 19． 在四棱锥中，AB//CD，，与相交于点，点在线段上，. ‎ ‎（1）求证：∥平面 ‎ ‎（2）若，， ，‎ 求点到平面的距离.‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，抛物线E：的焦点是椭圆C的一个顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若过点Q（1,0）的直线与椭圆C交于A，B两点，问是否在x轴上存在一点T，使得∠ATQ=∠BTQ？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数 （为常数）‎ ‎（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．‎ 选考题（满分10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ‎ ‎（1）求 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程;‎ ‎（2）已知射线的的直角坐标方程为,若射线与C1，C2 分别交于 A，B 两点，‎ 求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 若关于的不等式在实数范围内有解．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.‎ ‎ ‎ 参考答案 一． 选择题 ‎1B 2A 3A 4D 5B 6C 7A 8 B 9D 10B 11 C 12B 二．填空题 ‎13．5 14．3 15 ， 16 ‎ 三．解答题 ‎17,解：（Ⅰ） 由正弦定理得，可化为即．‎ ‎（Ⅱ） 以，为邻边作平行四边形，在中，．‎ 在中， 由余弦定理得．‎ 即：，解得，．‎ 故．‎ ‎18．【解析】（1）由题意得：，解得，男生人数为：50-20=30人．………… 2分 ‎（2）列联表为：‎ ‎………………………………3分 ‎ …………………………………………………5分 所以有的把握认为选择科目与性别有关. ……………………………… 6分 ‎ ‎（3）从25个选择地理的学生中分层抽样抽5名，‎ 所以这5名学生中有2名男生，3名女生，………………………………7分 男生编号为1，2，女生编号为a，b，c， 5名学生中再选抽2个，‎ 则所有可能的结果为Ω={ab，ac， a1，a2，bc， b1，b2， c1，c2， 12}，……………9分 至少一名男生的结果为{a1，a2，b1，b2，c1，c2， 12}，‎ 所以2人中至少一名男生的概率为 ……………………………… 12分 ‎19．【解析】解法一：（1）因为,所以即．‎ 因为,所以 , 所以∥,平面，平面 , 所以∥平面，…………………………5分 ‎ ‎(2)因为,所以为等边三角形，所以,‎ 又因为,所以且,所以且又因为所以 …………………………7分 因为平面,所以 作因为,所以 ‎ 所以EH为点到平面的距离. …………………………9分 在中，设边上的高为，则 因为,所以,即点到平面的距离为1 …………12分 解法二、（1）同解法一。‎ ‎（2）因为,所以为等边三角形，所以,又因为,所以且,所以且又因为所以 …………………………7分 设点到平面的距离为，因为，所以………9分 即 ‎ 因为,，‎ 所以，解得，即点到平面的距离为1。…………12分 ‎20．解：（1）由题意知 椭圆方程为： ………………………… 4分 （2） ‎(1)当直线斜率不存在，显然x轴上任意一点T均成立 ………………………… 5分 ‎（2）当直线斜率存在，设直线斜率为k,假设存在T（t，0）满足∠ATQ=∠BTQ．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，‎ ‎ 得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，‎ 由韦达定理有①，其中△＞0恒成立， ‎ 由∠ATQ=∠BTQ（显然TA，TB的斜率存在），‎ 故kTA+kTB=0即②，………………………… 7分 由A，B两点在直线y=k（x﹣1）上，‎ 故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②‎ 得，‎ 即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，…………………………9分 将①代入③，即有：‎ ‎④ ‎ 要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=8“时成立，综上所述存在T（8，0），使得∠ATQ=∠BTQ．‎ ‎ …………………………………………………………12分 ‎21．（Ⅰ）‎ 设，定义域为 由二次函数图象性质可知，函数是单调函数等价于恒成立，…2分 所以或 解得.………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（I）函数的两个极值点满足，‎ 所以 不妨设，则在上是减函数，‎ ‎………………………………………8分 令设函数 因为，‎ 所以在上为增函数.………………………………………………10分 由，即，‎ 解得，故 所以的最大值为.…………………………………………12分 ‎ ‎ ‎22．解：(1)由C1 ：，得，即，所以曲线C1 的极坐标方程为由C2 ：，得，即，所以C2 的直角坐标方程为 …………………………………5分 ‎（2）法一：设直线的倾斜角为，则直线的极坐标方程为 且 代入曲线 C1 的极坐标方程得 将代入曲线 C2 的极坐标方程得 ‎ 所以= ……………………………………10分 ‎ 法二：直线的参数方程为，将的参数方程代入C1 的直角坐标方程得，所以 将的参数方程代入C2 的直角坐标方程得，所以，所以= …………………………………… 10分 ‎23．解：（1）因为所以 ‎ 又因为………………………3分 所以………………………5分 ‎（2）由（1）可知，,则 方法一：‎ ‎ ………………………10分 ‎ 方法二：利用柯西不等式 ‎ ‎ ‎ …………………10分