2017-2018学年甘肃临夏中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年甘肃临夏中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年甘肃临夏中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的除法化简复数式，再求得共轭复数。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 ,共轭复数为.所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.‎ z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.‎ ‎2．①是一次函数；②的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)‎ A． ②①③ B． ③②①‎ C． ①②③ D． ③①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；大前提是③，小前提是①，结论是②．故排列的次序应为：③①②，故选D.‎ 点睛：‎ 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合的所有元素都具有性质， 是的子集，那么中所有元素都具有性质．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论 ‎3．求曲线在点处的切线方程 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求得，，再由点斜式求得切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，，所以切线方程为，化简得，选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数在处的切线方程为。‎ ‎4．已知， 则等于（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对函数进行求导可得：，将代入可得，即，故选B.‎ ‎5．用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（　　）‎ A． 假设都是偶数 B． 假设都不是偶数 C． 假设至多有一个偶数 D． 假设至多有两个偶数．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”的反证假设是“假设都不是偶数” 选B ‎6．若4位同学报名参加3个不同的课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）‎ A． 34种 B． 9种 C． 43种 D． 12种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分步计数原理人去选活动小组，可得结果。‎ ‎【详解】‎ 由分步计数原理人去选活动小组，每个人都选完，事情结束，所以方法数为43种。选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分步计数原理求完成事情的方法数，只需要区分理解分类计数原理与分步计数原理。‎ ‎7．已知且,计算,猜想等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令，由方程写出，根据的特征猜想出的通项公式。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，代入，得，即，所以，‎ 令n=2,代入，得，即，所以，所以猜想 ‎，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题常考查不完全数学归纳法，这是寻找解题思想和方法的突破点的极其重要的一种方法和手段。‎ ‎8．用数学归纳法证明 “ (n∈N，n＞1)”时由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时左边应增加的项数是(　　) ‎ A． k＋1 B． k C． 2k D． 2k＋1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当n＝k＋1时，增加的项为，共项。‎ ‎【详解】‎ 当n=k时，式子为“ (n∈N，n＞1)”，‎ 当n=k+1时，式子为“ ‎ ‎(n∈N，n＞1)”，所以增加了共项，即项,选C.‎ ‎【点睛】‎ 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．‎ ‎9．如图阴影部分的面积是(　　)‎ A． e＋ B． e＋－1 C． e＋－2 D． e－‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：阴影部分的面积为.‎ ‎【考点】定积分的应用.‎ ‎10．设是上的偶函数，当时， ，且，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，即，故在上单调递增，又∵是上的偶函数，故在上单调递减，∵,故不等式的解集是，故选C.‎ 点睛：本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，熟练掌握导数的运算是解题的关键，属于中档题；先根据可确定，进而可得到在上递增，结合函数的奇偶性可确定在上是减函数，最后根据可求得答案.‎ 二、填空题 ‎11．已知为虚数单位，设，则=______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得。‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，‎ 即=,所以，填。‎ ‎【点睛】‎ 记住以下结论，可提高运算速度 ‎ (1)(1±i)2＝±2i；(2)；(3)；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎12．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是___________．‎ ‎【答案】16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用间接法，用总共情况减去当副组长的情况，即为所求。‎ ‎【详解】‎ 间接法，用总共情况减去当副组长的情况，填16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查带限制条件的排列组合问题，间接法是一种常用的方法。‎ ‎13．复数,，则的最大值是___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，且，求出 ，再由三角换元可求出最大值。‎ ‎【详解】‎ 设，且，，‎ 所以 ‎ 所以最大值为，填3+。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的最值问题，利用待定系数法结合函数思想求得最值。‎ ‎14．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体P－ABC的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球的球心，则AE＝a，PE＝a.设OA＝R，OE＝r，则r＝a－R，又在Rt△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝2＋2，∴R＝a，r＝a，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是31，故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于127，即＝.‎ 三、解答题 ‎15．计算：‎ ‎(1)‎ ‎(2) 已知复数，求 ‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简 ，再做复数平方运算。（2）代入，由复数除法可得。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，填。‎ ‎（2） ，填-2i。‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查复数的四则运算及乘方运算，注意运算的正确性。‎ ‎16．已知00,，由的根为>,可求得极值。‎ ‎（3）由（）可知，因为，且，所以只需。‎ ‎【详解】‎ ‎（）依题意，函数的定义域为，‎ 当时，，，‎ 令，得，解得或，‎ 又∵，‎ ‎∴函数的单调递减区间是．‎ ‎（），，∵，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，无极小值，‎ 综上，的极大值为，无极小值．‎ ‎（）由（）可知，‎ 当时，，又，∴为的一个零点，‎ ‎∴若在恰有两个零点，‎ 则，即，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数，数形结合更有利于解题。‎