数学理卷·2017届贵州省全国卷Ⅲ高考压轴卷（2017

数学理卷·2017届贵州省全国卷Ⅲ高考压轴卷（2017

绝密★启封前 ‎2017全国卷Ⅲ高考压轴卷 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．设集合M={}，则集合M的真子集个数为 ‎ A．8 B．7 C． 4 D．3‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（）‎ ‎ A. B. C. D ‎3.若，则D A B. C. D. ‎4．在长为3的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于1的概率等（）‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎5．已知点A（1，2），B（3，4），C（—2，0），D（—3，3），则向量在向量上的投影为 （）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.函数图象的大致形状是( )‎ ‎7．设是双曲线的两个焦点，点在上，且，若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则的值等于（）‎ A． B．6 C．14 D．16‎ ‎8．若表示不超过的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（）‎ A．48920 B．49660 C．49800 D．51867‎ ‎9. 定义在R上的函数满足，则的值为( )‎ A.-1 B. -2 C.1 D. 2‎ ‎（10）榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11.已知抛物线上有两点关于直线对称，且，则的值等于（）‎ A． B． C. D．‎ ‎ ‎ ‎12．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13.若的展开式中的系数为2，则实数的值为__________．‎ ‎14.△ABC中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为_____‎ ‎15．已知三棱锥的顶点在球的表面上，是边长为的等边三角形，如果球的表面积为36，那么到平面距离的最大值为.‎ ‎16.已知方程，有且仅有四个解，则．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎(本小题满分12分)‎ 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经对本地 养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为，不赔不赚的可能性为，亏损30%的可能性为．假设该公司投资本地养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元．‎ ‎（Ⅰ）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅱ）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．试用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点的距离的倍．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21.已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：对任意的，.‎ 请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，‎ 试求当时，的值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，，且的解集为．‎ ‎（Ⅰ）解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若均为正实数，且满足，求证：．‎ ‎2017全国卷Ⅲ高考压轴卷 理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D A D B C C B C D B 部分题目解析及分析 ‎1.考察元素子集的个数问题 ‎2．解析：z=，故选A.‎ ‎3.三角函数和差问题及弦切互化。‎ ‎4.试题分析：设线段的三等分点分别为，因为点与线段两端点的距离都大于1，所以在线段上，则点与线段两端点的距离都大于1的概率 ‎5.向量的运算，夹角及投影问题 ‎6.，为奇函数，令，则，选.‎ ‎7.试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线 过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选C．‎ ‎8．解析：运行该程序可以得到的结果为：‎ ‎9.考察分段函数及递推关系 ‎10.考察三视图及对传统文化的理解 ‎11.解析：设直线，即代入得，则，，所以.设的中点为，则，所以 ，，又点在直线上，所以， 选D．‎ ‎12.函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为 ‎13.‎ ‎14.由题意可得c2＝a2＋b2－2ab＋6①cos＝＝②‎ ‎①②联立可得ab＝6，∴S△ABC＝ab sinC＝×6×＝ ‎15.‎ ‎【解析】试题分析：由题意，得到平面距离的最大值为球心到面的距离与球的半径之和；因为球的表面积为，所以球的半径为；又 ‎，则，所以到平面距离的最大值为；故填．‎ ‎16.（提示，利用函数的对称性）‎ ‎17【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减 ‎，由于，所以…………6分 ‎（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；‎ 证明时，{}为等差数列：由知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列 令则，∴‎ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列 令则，∴‎ ‎∴（），‎ 因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分 ‎18.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）随机变量的可能取值为0.6y，0，﹣0.3y，‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎﹣0.3y ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）根据题意得，满足的条件为:①‎ 由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为 M 所以本地养鱼场的年利润为千万元.‎ 所以明年两个项目的利润之和为 作出不等式组①所表示的平面区域如右图所示，即可行域.‎ 当直线经过可行域上的点M时，截距最大，‎ 即最大.‎ 解方程组解得所以的最大值为千万元．‎ 即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元……………………………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解:（Ⅰ）(解法一)：由题意可知，解得，……分 在中，， …………分 ‎∴，又∵是的中点，∴.　　　① …………分 ‎∵为圆的直径，∴.‎ 由已知知，∴，‎ ‎∴ . …………分 ‎∴. ②‎ ‎∴由①②可知：，‎ ‎∴. …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，‎ ‎∴是二面角的平面角 . …………8分 ‎, , .‎ ‎∴.‎ ‎ . ………12分 ‎(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，‎ 由题意可知.解得. ‎ 则，，，，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴可求得. …………3分 ‎（Ⅰ），，‎ ‎∴. ∵，‎ ‎∴. …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,，，‎ ‎， . ‎ ‎∵，.∴是平面的法向量. ……8分 设是平面的法向量，由，，‎ 解得 ………10分 ‎.‎ 所以二面角的平面角的余弦值. …………12分 ‎20.Ⅰ）解：设点的坐标为．‎ 由题意知 化简得 所以动点的轨迹方程为 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，点 因为∽，所以有，由已知得，‎ 所以有（1）‎ 由，得，‎ ‎（2），（3）‎ 由（1）（2）（3）得或 所以存在点为 ‎21.解：（1）当时，，，‎ ‎，‎ ‎∵当时，，∴，∴在上为减函数.‎ ‎（2）设，，，‎ 令，，则，‎ 当时，，有，‎ ‎∴在上是减函数，即在上是减函数，‎ 又∵，，‎ ‎∴存在唯一的，使得，‎ ‎∴当时，，在区间单调递增；‎ 当时，，在区间单调递减，‎ 因此在区间上，‎ ‎∵，∴，将其代入上式得：‎ ‎，‎ 令，，则，即有，，‎ ‎∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，‎ ‎∴，.‎ 即任意，，∴，因此任意，.‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）曲线：，可以化为，，‎ 因此，曲线的直角坐标方程为………………４分 它表示以为圆心、为半径的圆．　 ………………５分 ‎（Ⅱ）法一：当时，直线的参数方程为(为参数) ‎ 点在直线上，且在圆内，把 代入中得 ………………6分 设两个实数根为，则两点所对应的参数为，‎ 则， ………………8分 ‎　 ………………10分 法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为 即圆心的坐标为半径为，点在直线上，且在圆内 ‎ ………………6分 圆心到直线的距离 ………………8分 所以弦的长满足 ‎ ………………10分 ‎（23）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为，等价于，‎ 由有解，得，且其解集为．‎ 又的解集为，故．‎ 所以可化为：，‎ ‎．‎ ‎　　　　①当时，，，又，；‎ ‎　　　　②当时，，，，又，；‎ ‎　　　　③当时，，，又，．‎ ‎　　　　综上①、②、③得不等式的解集为：．．．．．．．（５分）‎ ‎（Ⅱ）证明：均为正实数，且满足，因为（当且仅当时，取“＝”），所以，即 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．‎