2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)‎ A． y＝－ B． y＝－ C． y＝－ D． y＝－1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 抛物线的标准方程即：，据此可得抛物线的焦点位于轴正半轴，‎ 其焦点坐标为，直线方程为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )‎ A． 抽签法 B． 随机数法 C． 系统抽样法 D． 分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.‎ ‎【考点】抽样方法.‎ ‎3．已知某物体的运动方程是，则当 时的瞬时速度是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ，当时，所以当时的瞬时速度是4 m /s ‎【考点】导数的应用 ‎4． 是“曲线过坐标原点”的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若，则，‎ 当时，，‎ 则曲线过坐标原点，充分性成立；‎ 反之，若曲线过坐标原点，‎ 则当时，，‎ 则不一定有，即必要性不成立；‎ 综上可得： 是“曲线过坐标原点”的充分不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A． 若，则或 B． 若，则 C． 若或，则 D． 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则 故选．‎ ‎6．设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A． y＝±x B． y＝±2x C． y＝±x D． y＝±x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知2b=2,2c=2,‎ ‎∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.‎ ‎7．设，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】函数求导数 ‎8．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查函数的导数与单调性.‎ 从导数的图象可知，函数有，两个极值点，其中是极小值，是极大值.‎ 当时，则在递减；‎ 当时，则在在递增；‎ 当时，则在在递增递减 观察上面的函数图象，符合条件的只有C ‎9．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以选B.‎ ‎【考点】导数几何意义 ‎【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎10．设椭圆的左右焦点分别为,是上的点, 则的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由通径公式可得：，‎ 则中：，‎ 整理可得：，即：，‎ 解得：，椭圆的离心率满足：，故：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11．已知点，直线 ：，点是上的动点．若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹是(　 　)．‎ A． 双曲线 B． 椭圆 C． 圆 D． 抛物线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示，连结，结合线段垂直平分线的性质可得：，‎ 即点到直线的距离与点到点的距离相等，‎ 结合抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．‎ ‎12．设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 结合函数的解析式可得：，令可得：，‎ 则满足题意时有：，求解指数不等式可得：，‎ 即实数的取值范围为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎13．函数的定义域为， ，对任意， ，则的解集为（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 令，‎ 则，‎ 故是增函数，‎ 又因为，‎ 故解集为，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．‎ ‎14．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有( )‎ A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不妨考查双曲线的右焦点,分类讨论：‎ 当AB的斜率不存在时,直线AB方程为，‎ 代入双曲线方程可得y=±2，即A，B两点的纵坐标分别为2和−2，满足|AB|=4.‎ 当AB的斜率存在时,设直线AB方程为,‎ 代入双曲线方程化简可得：，‎ 则：，‎ 结合弦长公式有：，‎ 结合韦达定理有：，‎ 平方化简可得，解得：,‎ 所以，满足条件且斜率存在的直线有2条。‎ 综上，所有满足条件的直线共有3条，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．‎ 二、填空题 ‎15．15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】试题分析：应从高一年级学生中抽取名学生,故应填.‎ ‎【考点】分层抽样及运用．‎ ‎16．已知在区间上的最大值为，最小值为，则______．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】试题分析：解：∵函数f（x）=x3-12x+8,∴f′（x）=3x2-12,令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2,故函数在[-2，2]上是减函数，在[-3，-2]，[2，3]上是增函数，所以函数在x=2时取到最小值f（2）=8-24+8=-8，在x=-2时取到最大值f（-2）=-8+24+8=24,即M=24，m=-8,∴M-m=32,故填写32.‎ ‎【考点】导数知识的运用 点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的最值、单调性，解答本题关键是研究出函数的单调性，利用函数的单调性确定出函数的最值 ‎17．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则＝______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．‎ ‎18．若函数在区间单调递增，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 求解导函数可得：，‎ 结合题意可得：在区间上恒成立，则恒成立，‎ 反比例函数在区间上单调递减，则，‎ 即的取值范围是.‎ ‎19．已知某商品的生产成本与产量的函数关系式为,每件商品的价格与产量的函数关系式为,则利润最大时,产量＝______.‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ 设收入为，由题意可得：，‎ 则利润函数：，‎ 利润函数为开口向下的二次函数，则在对称轴：时，目标函数有最大值，‎ 即利润最大时,产量＝84.‎ 点睛：二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．‎ 三、解答题 ‎20．设的内角所对边的长分别是，且， 的面积为，求与的值.‎ ‎【答案】， 或.‎ ‎【解析】试题分析：根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.‎ 由三角形面积公式，得，故.‎ ‎∵，∴.‎ 当时，由余弦定理得， ，所以；‎ 当时，由余弦定理得， ，所以.‎ ‎【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.‎ ‎21．已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列.‎ ‎(I)求的通项公式; (II) 求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于公差的方程,解方程可得，则数列的通项公式为；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得：，裂项求和可得：.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题设知公差,‎ 由且成等差数列得：‎ 计算得出 ‎（2），‎ ‎22．已知函数在处有极值，且其图像在处的切线与直线平行.‎ ‎(I).求函数的单调区间；‎ ‎(II).求函数的极大值与极小值的差；‎ ‎(III).若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间，函数的单调减区间；（Ⅱ）4；（Ⅲ）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合导函数与原函数切线的关系得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得：，则，利用导函数研究原函数的单调性可得函数的单调增区间，函数的单调减区间 ‎(2)结合(1)的结论可得：，函数的极大值为，极小值为 ‎，故极大值与极小值的差为.‎ ‎(3)原问题等价于，结合(1)的结论可得关于实数c的不等式，求解不等式可得：‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 由题意知 由（1）（2）得 当时，‎ 当时，‎ 函数的单调增区间，函数的单调减区间 ‎（2）由（1）知 由（1）知函数的极大值为，函数的极小值为 所以函数的极大值与极小值的差为.‎ ‎（3）要使对恒成立，‎ 只需，‎ 由（1）知 ‎23．已知椭圆上的点到左，右两焦点的距离之和为，‎ 离心率为.‎ ‎(I).求椭圆的标准方程；‎ ‎(II).过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意可得，，则椭圆的标准方程为 ‎(2)联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理有AB的中点坐标为，分类讨论：当时可得方程：，则，当 时，也满足题意，则 的取值为 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 椭圆的标准方程为 ‎（2）已知直线的方程 AB的中点坐标为 当的中垂线方程为 在的中垂线上，‎ 即 得 当 时，AB的中垂线方程为 ，满足题意。‎ 综上可知：斜率 的取值为 .‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎