2018-2019学年甘肃省张掖市高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省张掖市高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省张掖市高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解指数不等式求得集合，求函数值域求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由解得，所以.由于，根据对数型函数值域可知，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数型函数的值域，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．若（是虚数单位），则的值为（ ）‎ A．3 B．5 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（是虚数单位）‎ 可得 解得 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.‎ ‎3．在边长为3的等边三角形中，若分别是边上的三等分点，则的值是（ ）‎ A． B． C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为基底表示出，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查用基底表示向量，考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎4．已知，其中，，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意 ‎.当且仅当时取得最小值.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据辅助角公式化简原函数解析式可得，结合正弦函数的对称轴，令，即可解得一条对称轴方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，.‎ ‎∵的对称轴为 ‎∴，可以解得为.‎ ‎∴当时，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ 由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用的导函数，结合在区间上的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由此排除CD选项.‎ 由，解得，由此排除B选项，只有A选项正确.证明如下：‎ 由于在区间上单调递减，所以，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查导数的计算，属于基础题.‎ ‎8．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A．‎ ‎9．若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域，根据点到直线的距离求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，目标函数表示可行域内的点到直线的距离，由图可知，到直线的距离最大，且最大距离为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查非线性目标函数求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10．在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】取SC中点O，则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则选C.‎ 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎11．斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可设出直线的方程，进而求得线段的垂直平分线的方程，由此求得点的坐标，从而可求得.‎ ‎【详解】‎ 设，依题意设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则，①.‎ 由于，即，即②.‎ 设的中点为，则线段的垂直平分线方程为，令得，解得，即.‎ 所以③.‎ 将①代入③得，将②代入上式得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查根据弦长求值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎12．函数在定义域内可导，若，且，若，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件判断出的对称轴和单调性，由此比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由可知关于对称.由得：‎ 当时，，递减；当时，，递增.而，而，所以，即.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的对称性，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．从集合中任选一个元素，则满足的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题事件所包含的区域如图所示：‎ ‎ 全部事件区域是整个圆内部分，事件表示的在圆内并且位于直线右侧的部分． ∴所求概率为圆在第一象限位于直线右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得，即为.‎ 故答案为.‎ 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；‎ ‎（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎14．已知函数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数解析式，先求的值，然后求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，考查指数和对数运算，属于基础题.‎ ‎15．在等比数列中，成等差数列，则_______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：根据条件可得，解得，代入即可.‎ 详解：成等差数列，则.‎ 由为等比数列，设公比为q，则.‎ 可得：，解得 所以.‎ 故答案为3.‎ 点睛：本题考查了等比数列的基本运算，属于基础题.‎ ‎16．如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】试题分析：因为，所以为正三角形，设,则，其中B为PQ的中点，所以 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求三角形ABC的面积的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可． （2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合（1）得ac，再求出，利用面积公式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ 则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，‎ 故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，‎ 可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，‎ 即sin（B+C）=3sinAcosB，‎ 可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，‎ 因此． ‎ ‎（2）解：由，可得accosB=2，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎18．若数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) 或.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，，利用裂项相消法求和即可.‎ 详解： （1）当时，，则 当时，，‎ 即或 ‎∴或 ‎（2）由，∴，‎ ‎∴‎ ‎19．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；‎ ‎（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】分析：（1）利用所有小矩形的面积之和为，求得分数在内的频率，再根据小矩形的高，即可补全频率分布直方图；‎ ‎（2）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，即可求出中位数；‎ ‎（3）计算从第一组和第六组所有人数中任取人的取法总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. ‎ 详解：（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，‎ 则有，可得，‎ 所以频率分布直方图为：‎ ‎（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，‎ 所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为 ‎（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，‎ 第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）‎ 第6组学生数：人（设为）‎ 所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35种，‎ 事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，，，，共有18种 所以. ‎ 点睛：本题考查了利用样本估计总体的综合应用问题，以及古典概型及其概率的计算问题，对弈频率分布直方图，应注意：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎20．已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，过作于，过作于，由三角形内角和定理可得，由平面，可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，根据“等积变换”可求得，进而可得与平面所成角的正弦值.‎ 试题解析：（1）连接，过作于，过作于.‎ 在等腰梯形中，∵，∴.‎ ‎∴，则，，‎ ‎∴即，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）∵由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即 ，∴.‎ ‎∴与平面所成角的正弦值等于.‎ ‎21．椭圆，是椭圆与轴的两个交点，为椭圆C的上顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．‎ ‎（1）求椭圆的离心率； ‎ ‎（2）设直线与轴交于点，交椭圆于、两点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；‎ ‎（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，根据题意可设直线l的方程为：x=my﹣，设，，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ ‎，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），， ，，.‎ ‎∴， ． ‎ ‎（2）由（1）知，得，‎ 可设椭圆的方程为：. ‎ 根据题意可设直线的方程为：，设，，联立 得 ‎ 因为直线与椭圆相交，所以，‎ 由韦达定理：，． ‎ 又，所以，代入上述两式有：， ‎ 所以 ，当且仅当时，等号成立， 此时， 代入，有成立.‎ 所以所求椭圆的方程为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）确定实数的值，使得存在，当时，恒有．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）．‎ ‎【解析】（1）先求函数的定义域，然后求导令导数大于零即可求得函数的递增区间；‎ ‎（2）构造函数，利用导数求得函数在时函数值小于零，由此证得不等式成立；‎ ‎（3）由（2）可知时不存在，当时，有，则，故也不存在，当时，构造函数，利用导数证得不等式成立即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），.‎ 由得解得.‎ 故的单调递增区间是.‎ ‎（2）令，，则有.‎ 当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 故当时，，即当时，.‎ ‎（3）由（2）知，当时，不存在满足题意.‎ 当时，对于，有，则，从而不存在满足题意.‎ 当时，令，，‎ 则有 .‎ 由得，.‎ 解得，.‎ 当时，，故在内单调递增.‎ 从而当时，，即，‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，利用导数求参数的取值范围.用导数求单调区间首先要求出函数的定义域，然后对函数求导，通分，令导数等于零，求出极值点后写出单调区间.求极值点大多数可以因式分解求出，无法时可用求根公式求出.‎