2020届高三数学一模检测试题 理（含解析）新人教版

2020届高三数学一模检测试题 理（含解析）新人教版

‎2019届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.‎ ‎4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.‎ 参考公式：球的表面积公式： 球的体积公式：‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1. 集合，集合，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合 集合，........................‎ 则.‎ 故选B.‎ ‎2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则 - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数，，‎ ‎.‎ 若是实数，则，解得.‎ 故选A.‎ ‎3. 若双曲线 与直线无交点，则离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线 的渐近线为.‎ 若双曲线 与直线无交点，则.‎ 离心率.所以.‎ 故选D.‎ ‎4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为(  )米. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．‎ 由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，‎ 在△CDO中，，‎ 即，，‎ - 18 -‎ 解得（米）．‎ 考点：1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长 ‎5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.‎ 由题意知.‎ 所以，解得.‎ 故选A.‎ ‎6. 下列判断错误的是 A. 若随机变量服从正态分布,则；‎ B. 若组数据的散点都在上，则相关系数；‎ C. 若随机变量服从二项分布：, 则；‎ D. 是的充分不必要条件；‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A.若随机变量服从正态分布，则，‎ 由得.,A正确；‎ 对于B.若组数据的散点都在上，则相关系数，B正确；‎ 对于C. 若随机变量服从二项分布：, 则；‎ 对于D.若，未必有，例如当时，，充分性不成立，D错误.‎ 故选D.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的，的值分别为 - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序：‎ 均为偶数，且所以；‎ 均为偶数，且所以；‎ 均为偶数，且所以；‎ 不均为偶数，且所以;‎ 不均为偶数，且所以.‎ 此时，所以输出.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) ‎ - 18 -‎ 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，.令，若在区间内，函数有4个不相等实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，‎ 是定义在R上的周期为2的偶函数，‎ 令,作其与y=f(x)的图象如下，‎ 函数有4个不相等实根，等价于与y=f(x)有4个交点，‎ 所以，解得.‎ 故选C.‎ 点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 ‎9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—‎ - 18 -‎ ‎”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，‎ 如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.‎ 故选C.‎ ‎10. 2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，则线段的曲线方程为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题中示例可知：之所以可以表示为之所以可以表示线段.‎ 因为方程等价于，即，即为线段.‎ 由此可得题中线段的方程为：，等价于.‎ 故选A.‎ ‎11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为 ‎ - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.‎ 考点：三视图.‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.‎ ‎12. 设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设.恒过(，恒过(1,0)‎ - 18 -‎ 因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.‎ 因为，‎ 所以当时，,单调递减；‎ 当时，,单调递增.‎ 所以.作出函数图象如图所示：‎ 根据题意得：，解得：.‎ 故选A.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系..‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13. 的展开式的常数项为_______________．‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】试题分析： 的展开式中第项为 令可得故展开式中的常数项为，故答案为.‎ 考点：二项展开式定理的应用.‎ - 18 -‎ ‎14. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数的图象向右平移个单位，‎ 得到函数，‎ y=g(x)在上为增函数，‎ 所以，即：ω⩽2，‎ 所以ω的最大值为：2.‎ 故答案为：2.‎ 点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.‎ 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；‎ 其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.‎ ‎15. 已知直线 过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意知可行域为图中△OAB及其内部，‎ 解得，‎ - 18 -‎ 又,则∠AOB=30°，‎ 由正弦定理得，‎ 解得.‎ 故答案为.‎ ‎16. 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为___________．‎ ‎①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；‎ ‎②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；‎ ‎③，； ‎ ‎④若，则.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①,∵在区间(−1,1)上存在一个零点，‎ ‎∴,解得或，故①错误；‎ ‎②，若“”，则不一定成等比数列，例如，但“成等比数列”则有，所以“”成立，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故②正确；‎ ‎③,由图可知,单位圆O中，，‎ 设,又，‎ 所以，故③正确；‎ - 18 -‎ ‎④,∵为增函数,均为减函数，‎ ‎∴，故④正确；‎ 故答案为②③④.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . ‎ ‎（1）求数列和的通项公式;‎ ‎（2）记，求数列 的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案； （2）由cn=abn结合数列{an}和{bn}的通项公式得到数列{cn}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{cn}的前n项和Sn．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．‎ 由，得，解得．‎ 所以．‎ 由，得，又，解得．‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ,且,平面.‎ - 18 -‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值;‎ ‎（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，‎ 即判定方程是否有解：‎ 解：（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，从而.‎ 设平面的法向量为,则，且，‎ 即，且，不妨取，则，‎ 所以平面的一个法向量,‎ 此时，所以与平面所成角的正弦值为；‎ ‎（2）设，则 则，‎ 由得，‎ 化简得，，该方程无解，‎ 所以，棱上不存在一点满足.‎ ‎19. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：‎ - 18 -‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和. ‎ 附表及公式：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算K2，对照附表做结论； （2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由表中数据得的观测值：‎ - 18 -‎ ‎， ‎ 所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ‎ ‎（2）可能取值为，‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、‎ - 18 -‎ ‎，且四边形是边长为的正方形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．‎ 试题解析：（1），，∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2），，设，，‎ 则，，‎ 直线，即，‎ 代入椭圆得，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴（定值）‎ 考点：椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．‎ ‎【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．‎ - 18 -‎ ‎2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出，设令,通过求导进行证明．‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为.. ‎ ‎，方程的判别式.‎ ‎①当时，，∴，故函数在上递减；‎ ‎②当时，，由可得，. ‎ 函数的减区间为；增区间为. ‎ 所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减. ‎ ‎（2）由 （1）知当时，函数有两个极值点，且.‎ ‎ ‎ 设，则，，‎ 所以在上递增，，‎ - 18 -‎ 所以.‎ 考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．‎ ‎22. 选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线，直线；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将曲线C的方程两边分别乘以，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程，对直线方程，消去参数t,即可化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t二次方程，利用根与系数关系及参数t的几何意义，即可求出|PM|+|PN|的值.‎ 试题解析：(1)曲线C的直角坐标方程为，‎ 直线的普通方程. 6分 ‎(2)直线的参数方程为(t为参数),‎ 代入y2=4x, 得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2‎ 则 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=14分 考点：直角坐标方程与参数方程的互化；极坐标方程与直角坐标方程互化；直线的参数方程中参数的意义；直线与抛物线的位置关系.‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ - 18 -‎ ‎（2）若是正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得的解集为，由绝对值不等式的解法即可得；‎ ‎（2）将代入得，可得,展开运用基本不等式即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以等价于，‎ 由有解，得，且其解集为.‎ 又的解集为，故 ‎（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 18 -‎