2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先求出集合B，然后利用集合的交运算即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交运算，同时考查了对数函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2．若在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用复数的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，‎ 所以实数m的取值范围是，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3．已知命题p：对，有，则为（ ）‎ A．对，有 B．对，有 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】C ‎【解析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题p：对，有的否定为特称命题，‎ 即：为，使得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎4．若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出双曲线的渐近线，由题意可求出的值，再根据即可求出 ‎【详解】‎ 由双曲线，故双曲线的渐近线为，‎ 又因为点在渐近线上，所以，即，‎ ‎，则，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法、以及、离心率，属于基础题.‎ ‎5．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，， ‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，解题可采用“中间值”比较出大小，属于基础题.‎ ‎6．设函数是其定义域内的可导函数，其函数图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的单调性和导函数符号之间的关系即可判断.‎ ‎【详解】‎ 由函数的图像可得，当时，函数单调递减，‎ 所以导函数，故排除B；‎ 当时，函数先单调递增后单调递减再单调递增，所以导函数 先大于再小于再大于，只有C满足；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数的应用，考查函数的单调性和导函数符号之间的关系以及数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎7．已知圆与圆，则两圆（ ）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎【答案】C ‎【解析】求出两圆的圆心与半径，根据圆心距与半径和的大小关系可得答案.‎ ‎【详解】‎ 圆，圆心，半径 ‎ 圆，圆心，半径，‎ 所以 所以两圆外切.‎ 故选：C ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与圆的位置关系，同时考查了由圆的标准方程求圆心与半径，属于基础题.‎ ‎8．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】利用已知可得，再由对数函数的单调性即可判断出充分性；当时，可得对数值小于，从而可得必要性不满足.‎ ‎【详解】‎ 由，且“”，可得，‎ 从而由，可得，即满足充分性；‎ 当，且，当时，，即不满足必要性；‎ ‎ 故 ，“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，同时考查了对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎9．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是边长为4的正方形，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图分析几何体的结构特征，几何体为：圆柱中挖去两个圆锥，然后由几何体的结构特征利用相应的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体的结构特征：‎ 底面半径为，高为的圆柱 挖去分别以圆柱的上下底面为底面、以圆柱的高为圆锥的高的和的几何体，‎ 设上圆锥的高为，下圆锥的高为，且 ‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图以及圆柱、圆锥的体积公式，解题的关键是分析出几何体的结构特征，属于基础题.‎ ‎10．若函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，代入相应的解析式，可得，进一步代入解析式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数，因为，‎ 所以 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了求分段函数函数值，同是考查了指数、对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎11．从区间随机抽取2n个数，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先分析题意作出图，可得圆周率的近似值为圆的面积比正方形的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，结合正方形与圆的面积的计算公式即可求出的近似值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，且，‎ 如图：‎ ‎ ‎ 记两数的平方和小于1的数为，在如图所示的阴影中，‎ 总区域记为，为图中正方形 根据几何概型概率计算公式知，可得，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查的是几何概型，解答本题的关键在于求出圆的面积和正方形的面积，属于基础题.‎ ‎12．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）‎ A．0 B．n C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得的图像关于点对称，函数的图像也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 函数满足，‎ 的图像关于点对称，而函数的图像也关于对称，‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则，‎ ‎， ‎ 令，则，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．曲线（其中e为自然对数的底数）在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求出，然后利用点斜式方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 点在曲线上，令，‎ 所以，‎ 所以，故在点处的切线方程为，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、导数的基本运算法则以及基本初等函数的导数，需熟记导数的公式与运算法则，属于基础题.‎ ‎14．已知圆C的圆心在坐标轴上，且抛物线与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，从而可求出圆心坐标以及半径，利用圆的标准方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 令，解得，‎ 圆C的圆心在坐标轴上，且抛物线与坐标轴的交点都在圆C上， ‎ 故圆心为，，‎ 由圆的标准方程可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，属于基础题.‎ ‎15．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系只需在上 即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数，所以，‎ 函数在上单调递增，‎ 则，即，所以，‎ 令，因为，‎ 由对勾函数的单调性可知在单调递增，‎ 故，故，即实数a的取值范围是 故答案为： .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎16．已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球半径为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用余弦定理求出，进而可得，然后利用正弦定理求出的外接圆半径为，最后利用球的半径以及与的外接圆半径为的几何关系可得，解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得，所以，‎ 记三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为，‎ 则， ‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了多面体的外接球问题、正余弦定理，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，M为不等式的解集.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当且时，恒成立，求t的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）9.‎ ‎【解析】（1）去绝对值将函数化为分段函数的形式，解分段函数的不等式即可.‎ ‎（2）采用分离参数法将不等式化为，然后利用基本不等式求出 的最小值即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 当时，则，解得，即 ‎ 当时，则，解得，即，‎ 当时，则，解得，此时无解. ‎ 综上所述，解得；‎ ‎（2）（当且仅当时取等），所以t的最大值为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解绝对值不等式以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式求最值时，验证等号成立的条件，考查了分类讨论的思想，属于基础题 ‎18．已知曲线，直线（t为参数）.‎ ‎（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线C上任意一点作与直线夹角为30°的直线，交于点A，求的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）（为参数），；（2）最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】（1）令，进而可求出曲线的参数方程；消去参数，整理即可. ‎ ‎（2）根据题意可知是点P到直线的距离的两倍，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线（为参数），直线 .‎ ‎（2）易知是点P到直线的距离的两倍，所以：，‎ 最小值为，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程与普通方程的相互转化、点到直线的距离公式、辅助角公式以三角函数的最值，属于基础题.‎ ‎19．直三棱柱中，，，，F为棱的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点M在线段上运动，求三棱锥的体积的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】（1）连接，由题意可证出，然后证出，然后利用线面垂直的判定定理可得面，从而可证出.‎ ‎（2）由，从而判断当M运动到F点位置时体积最大，然后利用三棱锥的体积公式，属于基础题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，由直三棱柱和，‎ 易得面，所以，‎ ‎ ‎ 又，，所以由相似三角形知 又，所以面，所以；‎ ‎（2），则显然当M运动到F点位置时体积最大，‎ 此时，所以最大体积为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，需熟记定理内容以及三棱锥的体积公式，属于基础题.‎ ‎20．2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：，得到如图所示的直方图：‎ ‎（1）若从总体的9600名网络购票乘客中随机抽取一人，估计其年龄大于35岁的概率；‎ ‎（2）试估计总体中年龄在区间内的人数；‎ ‎（3）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数.‎ ‎【答案】（1）0.4；（2）480人；（3）32.5.‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图，求出年龄大于35的频率：，即可求解.‎ ‎（2）求出区间的概率，进而利用总人数以及在此区间内的概率即可求解.‎ ‎（3）由直方图可知，设中位数为x，由题可得，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图知：年龄大于35的频率为：‎ 故从总体的9600名网购票乘客中随机抽取一人，估计其年龄大于35岁的概率为0.4； ‎ ‎（2）设在区间内的概率为，则 ‎ ‎ 解得，估计总体中年龄在区间内的人数为人. ‎ ‎（3）由直方图可知：中位数在区间内，设中位数为x.‎ 由题可得：‎ ‎，所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中，小矩形的面积之和为，属于基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）设是的极值点，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）在上减，上增；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即 ‎，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间. ‎ ‎（2）由，进而可得，记，研究函数 的单调性，求出的最小值，进而可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：的定义域为，，‎ 由，‎ 所以，又因为，‎ 所以在上单调递增，注意到，‎ 所以在上减，上增.‎ ‎（2）由，所以,‎ 记，，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增 ，‎ 所以是的最小值点，，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.‎ ‎22．已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且.‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意可知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，设点，代入椭圆方程求出，利用三角形的面积公式即可求解. ‎ ‎（2）将直线与椭圆联立，求出、，由可得，，令，利用导函数求出函数的单调区间，再利用零点存在性定理即可判断出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，‎ 于是可以设点其中，于是，解得，‎ 所以；‎ ‎（2）据题意，直线，联立椭圆E，‎ 得：，即：，‎ 则，那么，‎ 同理，知：，‎ 由，得：，即：，‎ 令，则，‎ 所以单调增，又，，‎ 故存在唯一零点，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的位置关系，导函数在研究函数单调性的应用、零点存在性定理，属于难题.‎