2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（理）试题（解析版）

2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（理）试题（解析版）

2020 届四川省成都市树德中学高三 11 月阶段性检测数学（理） 试题 一、单选题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意首先求得集合 B，然后进行交集运算即可. 【详解】 由于： ， 故由题意可知： ，结合交集的定义可知： . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 2．在复平面内，给出以下四个说法： ①实轴上的点表示的数均为实数； ②虚轴上的点表示的数均为纯虚数； ③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数； ④已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于第四象限. 其中说法正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据复数的几何意义可判断出命题①②的正误，根据共轭复数的概念判断命 题③的正误，利用复数的除法求出复数 ，结合复数的几何意义可判断出命题④的正 误. 【详解】 对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确； 对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误； 对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确； { }1,0A = − { },B t t y x x A y A= = − ∈ ∈且 A B = { }1 { }1− { }1,1− { }1,0− ( ) ( )1 0 1,0 1 1, 1 1 0 0 0− − = − − − = − − − = − = { }1,0,1B = − { }1,0A B∩ = − z ( )1 3i z i+ = − z 1 2 3 4 z 对于命题④，由 ，得 ，所以， 复数 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确. 因此，正确的命题为①③④. 故选：C. 【点睛】 本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以 及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题. 3．设等差数列 前 项和为 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得出 ，利用等差数列求和公式可求出 的值. 【详解】 由 ，得 ， ，因此， . 故选：D. 【点睛】 本题考查等差数列下标和性质的应用，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计 算能力，属于基础题. 4．将 的展开式按 的降幂排列，若第三项的系数是 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意求出第三项的系数，可得出关于 的方程，即可解出 的值. 【详解】 将 的展开式按 的降幂排列，第三项的系数为 ， 即 ，整理得 . ，解得 . 故选：B. ( )1 3i z i+ = − ( )( ) ( )( ) 3 13 2 4 1 21 1 1 2 i ii iz ii i i − −− −= = = = −+ + − z { }na n nS 9 4S S= 5 0ka a+ = k = 6 7 8 9 9 4S S= 5 6 9 0a a a+ + + = k 9 4S S= ( )5 9 9 4 5 6 9 5 02 a aS S a a a +− = + + + = = 5 9 0a a∴ + = 9k = ( )2 nx − x 40 n = 4 5 6 7 n n ( )2 nx − x ( )22 22 4 40n nC C⋅ − = = ( )1 102 n n − = 2 20 0n n− − = n N ∗∈ 5n = 【点睛】 本题考查利用项的系数求指数的值，解题的关键就是利用二项展开式的通项得出系数的 表达式，考查计算能力，属于中等题. 5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直 的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与 “牟合方盖”的体积之比应为 ： 若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 　　 A．16 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】 正方体的棱长为 2，则其内切球的半径 ， 正方体的内切球的体积 ， 又由已知 ， ． 故选 C． 【点睛】 本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题． 6．如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔 中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 的图象大致是 　　 A． B． 《 》 π 4. ( ) 16 3 16 3 128 3 r 1= ∴ 34 4V π 1 π3 3 = × =球 V π V 4 =球 牟合方盖 4 4 16V ππ 3 3 ∴ = × =牟合方盖 .T ( )h f t= ( ) C． D． 【答案】B 【解析】根据时间和 h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】 函数 是关于 t 的减函数，故排除 C，D， 则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化 变快，故对应的图象为 B， 故选 B． 【点睛】 本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 7．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得 与 夹角的余弦值。 【详解】 ( )h f t= 3SO = 2,AB C= O 1AC = SA BC 3 4 3 3 1 4 1 3 AS BC 建立如图所示的空间直角坐标系得： ， ， ， 设 的夹角为 ， 又 则 因为 即 SA 与 BC 所成角的余弦值为 故选：A． 【点睛】 本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题． 8．2021 年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一， 政治地理化学生物四选二，共有 12 种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史， 假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】基本事件总数n 6，他们选课相同包含的基本事件 m＝1，由此能求出他 们选课相同的概率． 【详解】 今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好， 则基本事件总数 n 6， 0 1 0A −（ ， ，） 01 0B（ ，，） 0 0 3S（ ，， ） 3 1 02 2C  −    ， ， ,AS BC  θ 0 2 πθ< ≤ 3 3(0,1, 3), , ,02 2AS BC  = = −      3cos 4| | | AS BC AS BC θ ⋅= = −     0 2 πθ< ≤ 3 4 3 1 2+ + 1 36 1 16 1 8 1 6 2 4C= = 2 4C= = 他们选课相同包含的基本事件 m＝1， ∴他们选课相同的概率 p ． 故选：D． 【点睛】 本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基 础题. 9．如图所示框图，若输入三个不同的实数 ，输出的 值相同，则此输出结果 可能 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据程序框图知，本题是输出函数 的函数值，设输出 的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点，利用数 形结合思想得出 的取值范围，从而可得出输出 的可能值. 【详解】 由题意可知，程序框图是输出函数 的函数值， 设输出的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点， m 1 n 6 = = x y y 2− 1− 1 2 4 2 3, 0 4 3, 0 x xy x x x + ≤=  − + > y t y t= 2 3, 0 4 3, 0 x xy x x x + ≤=  − + > 3 t y 2 3, 0 4 3, 0 x xy x x x + ≤=  − + > y t y t= 2 3, 0 4 3, 0 x xy x x x + ≤=  − + > 3 如下图所示： 由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交 点， 因此，此输出结果 可能是 . 故选：C. 【点睛】 本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及 了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出切线 的函数解析式，以及切点坐标，确定被积函数与被积区间，然后利 用定积分思想计算出所围成的封闭图形的面积. 【详解】 如下图所示，设切点坐标为 ，对函数 求导得 ， 所以，直线 的方程为 ，将原点代入直线 的方程得 ，得 . 1 3t− < < y t= 2 3, 0 4 3, 0 x xy x x x + ≤=  − + > 3 y 1 2 O : xC y e= l C l y 1 12 e − 2 e 1 2e − 3 2e − l ( ), tt e xy e= exy′ = l ( )t ty e e x t− = − l t te te− = − 1t = 所以，直线 的函数解析式为 ， 如上图所示，所求区域的面积为 . 故选：A. 【点睛】 本题考查利用定积分计算平面区域的面积，同时也考查了过点的函数的切线方程的求解， 考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题. 11．已知椭圆、双曲线均是以线段 的两端点为焦点的曲线，点 B 是它们的一个公 共点且满足 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 （ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ， 两曲线的焦距均为 ，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出 ，由此可得出 的值. 【详解】 设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，两曲线的 焦距均为 ， 由椭圆的定义得 ，由双曲线的定义得 ， l y ex= ( )0 2 1 01 1 1 12 2 x xe ex dx e ex e ∫ − = − = −   AC 0BA BC⋅ =  1e 2e 2 2 1 2 1 1 e e + = 3 2 5 2 BA m= BC n= 12a 22a ( )2 0c c > 2 2 2 1 2 2a a c+ = 2 2 1 2 1 1 e e + BA m= BC n= 12a 22a ( )2 0c c > 12m n a+ = 22m n a− = 由勾股定理得 ， ， ， 化简得 ，即 ，因此， . 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考 查计算能力，属于中等题. 12．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ,则函数 在区间 的所有零点之和为 （ ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【答案】A 【解析】利用定义推导出函数 是周期为 的函数，并作出函数 与函 数 在区间 上的图象，可知两函数在区间 上的图象关于直 线 对称，然后利用数形结合思想得出函数 在区间 上的零点之 和. 【详解】 ，所以，函数 的图象关于直线 对称， 又 函数 为偶函数，所以， ， 所以，函数 是以 为周期的周期函数， 作出函数 与函数 在区间 上的图象如下图所示： ( )22 2 2m n c+ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 22 2 2a a m n m n m n+ = + + − = + 2 2 2 1 24 4 2 4a a c∴ + = × 2 2 2 1 2 2a a c+ = 2 2 1 2 2 2 2a a c c + = 2 2 1 2 1 1 2e e + = ( )y f x= R ( ) ( )1 1f x f x− − = − [ ]1,0x∈ − ( ) 3f x x= − ( ) ( ) cosg x f x xπ= − 5 1,2 2  −   ( )y f x= 2 ( )y f x= cosy xπ= 5 1,2 2  −   5 1,2 2  −   1x = − ( )y g x= 5 1,2 2  −   ( ) ( )1 1f x f x− − = − ( )y f x= 1x = −  ( )y f x= ( ) ( ) ( )1 1 1f x f x f x− = − − = + ( )y f x= 2 ( )y f x= cosy xπ= 5 1,2 2  −   由图象可知，函数 与函数 在区间 上的图象都关于直线 对称，两个函数在区间 上的图象共有 个交点，有 对关于直线 对称，还有一个交点的横坐标为 . 因此，函数 在区间 的所有零点之和为 . 故选：A. 【点睛】 本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的 关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题 13．已知以点 为圆心的圆 C 与直线 相切，则圆 C 的方程为______． 【答案】 【解析】根据题意，设圆 C 的半径为 r，由直线与圆的位置关系可得 ，结合圆的标准方程分析可得答案． 【详解】 根据题意，设圆 C 的半径为 r， 以点 为圆心的圆 C 与直线 相切，则圆心到直线的距离为半径，则有 ， 则圆 C 的方程为 ； 故答案为： ． ( )y f x= cosy xπ= 5 1,2 2  −   1x = − 5 1,2 2  −   7 3 1x = − 1− ( ) ( ) cosg x f x xπ= − 5 1,2 2  −   2 3 1 7− × − = − ( )1,2 2 0x y+ = 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 1 2 2 5 1 4 r + ×= = + ( )1,2 2 0x y+ = 1 2 2 5 1 4 r + ×= = + 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 【点睛】 本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线 和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线 或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分 别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。 14．在矩形 中， ， ， ，则 __________. 【答案】 【解析】作出图形，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平 面直角坐标系，写出各点的坐标，然后利用坐标计算出 的值. 【详解】 如下图所示，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角 坐标系，则点 、 ， ，则 ，则点 ， ， . 因此， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查图形中数量积的计算，一般利用基底法结合平面向量数量积的定义和运算律来 计算，也可以建立坐标系，利用坐标来计算，考查计算能力，属于中等题. 15．已知函数 ，设 ， ， 请将 、 、 按照由大到小的排列顺序写出____ _____ _______. 【答案】 【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数 为偶函数，利用 复合函数的单调性判断出函数 在区间 上为减函数，可知，该函数在 ABCD 2AB = 4=AD 1 3AM MD=  BM MC⋅ =  1− A AD AB x y BM MC⋅  A AD AB x y ( )0,2B ( )4,2C 1 3AM MD=   1 4AM AD=  ( )1,0M ( )1, 2BM∴ = − ( )3,2MC = 1 3 2 2 1BM MC⋅ = × − × = −  1− ( ) ( )2ln 1f x x x= + − ( )3log 0.2a f= ( )0.24b f −= ( )1.12c f= − a b c > > c a b ( ) ( )2ln 1f x x x= + − ( )y f x= ( ],0−∞ 区间 上为增函数，再比较 、 和 这三个正数的大小，从而可得出 、 、 的大小关系. 【详解】 对任意的实数 ， ，则 恒成立，所以，函数 的定义域为 ， ，所以函数 为偶函数， 当 时， ，则 ， 内层函数 为减函数，外层函数 为增函数， 所以，函数 在区间 上为减函数，则该函数在区间 上为增函数， ， . 对数函数 在 上为增函数，则 ，即 . 指数函数 为增函数，则 ，即 . 指数函数 为增函数，则 ， ， 由于函数 在区间 上为增函数，因此， . 故答案为： ； ； . 【点睛】 本题考查函数值的大小比较，涉及了函数单调性与奇偶性的判断，在涉及偶函数的性质 时，一般结合性质 来判断，同时要注意将自变量置于同一单调区间，考 查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．已知数列 中， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为__________． 【答案】 [ )0,+∞ 3log 5 0.24− 1.12 a b c x 2 1x x x+ > ≥ 2 1 0x x+ − > ( ) ( )2ln 1f x x x= + − R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 2ln 1 ln 1 ln 1 ln 1f x x x x x x x x x f x − − = + + = + − = − + − = + − = ( ) ( )2ln 1f x x x= + − 0x ≤ 2 21 1 1x x x+ − ≥ + ≥ ( ) ( )2ln 1f x x x= + − 2 1u x x= + − lny u= ( )y f x= ( ],0−∞ [ )0,+∞ ( ) ( ) ( )3 3 3 3 1log 0.2 log log 5 log 55a f f f f = = = − =   ( ) ( )1.1 1.12 2c f f= − =  3logy x= ( )0, ∞+ 3 3 3log 3 log 5 log 9< < 31 log 5 2< < 4xy = 0.2 00 4 4−< < 0.20 4 1−< < 2xy = 1.12 2> 1.1 0.6 32 log 5 4 0−∴ > > > ( )y f x= [ )0,+∞ c a b> > c a b ( ) ( )f x f x= { }na ( ) * 1 12, 1,n n na n a a a n N+= − = + ∈ [ ]2,2a∈ − 21 2 11 na t atn + < + −+ t ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ 【解析】由题设可得 ，即 ，也即 ，所以 ，令 可得 ，将以上 等式两边相加可得 ，所以 ， 即 ，令 ，则 ，解之得 或 ，应填答案 。 点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考 查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答 本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组 ，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解． 三、解答题 17． 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若角 ,点 为 边上靠近点 的一个四等分点，且 ，求 的面积 . 【答案】（1） （2） 【解析】（1）将已知等式右边提取 ，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦 函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出 的值，由 为三角形的内角，利用 特殊角的三角函数值即可求出 的度数； （2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ， 在三 角形 中利用余弦定理求出 ，利用三角形的面积公式即可求出三角形 的面积． 【详解】 1 1 1 n n na a an n+ − = + 1 1 1 n n na an n+ += + 1 1 1 ( 1) n na a n n n n + = ++ + 1 1 1 1 1 n na a n n n n + = + −+ + 1,2,3,n n= ⋅⋅⋅ 3 3 12 1 2 41 1 1 1 1 1 1 1, , , ,2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 1 1 n na a a aa a a a n n n n += + − = + − = + − ⋅⋅⋅ = + −+ + n 1 1 1 11 3 31 1 1 1 na a n n n + = + − = − <+ + + 22 1 3t at+ − ≥ 22 4 0t at+ − ≥ 2( ) 2 4, [ 2,2]F a t at a= + − ∈ − 2 2 ( 2) 0 2 0{ {(2) 0 2 0 F t t F t t − ≥ − − ≥⇒≥ + − ≥ 2t ≥ 2t ≤ − ( , 2] [2, )−∞ − +∞ 2 2 ( 2) 0 2 0{ {(2) 0 2 0 F t t F t t − ≥ − − ≥⇒≥ + − ≥ ABC∆ A B C a b c ( )2 3 cos 3 cosb c A a C− = A 6B π= M BC C 21AM = ABC∆ S 6 π 4 3 3 cos A A A ABC bCA CB= = b 4CM = 2 3C π= ABM b ABC 解：（1） ，又 为三角形的内角， ； （2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ，又因为点 为 边上靠近点 的一个四等分点则 ，在三角形 中利用余弦定理 ，解得 ， 则 ． 【点睛】 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握 公式及定理是解本题的关键，属于基础题． 18．如图，已知直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点，且 . （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 余弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）证明出 ，可得出 ，即有 2 cos 3 cos 3 cos 3( cos cos )b A c A a C a C c A= + = + 2 3 sin( ) 2 3 sin =4 sin cosR A C R B R B A= + = 3cos 2A∴ = A 6A π∴ = ABC 6A B π= = 2 3C π= M BC C b 4CM = ABM ( )2 22 bb + - 214cos =cos120 = b2 b 4 C °     × × b=4 1 1sinC 4 4 sin120 =4 32 2ABCS AC BC∆ = = × × × °  1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 1 2AB AC AA= = = E BC F 1A E 1 2A F FE= AF ⊥ 1A BC 1 1B A E B− − 15 5 1~AEF A EA∆ ∆ 1 90AFE A AE∠ = ∠ =  ，再证明出 平面 ，可得出 ，然后利用直线与平面垂直 的判定定理可证明出 平面 ； （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直 角坐标系 ，然后利用空间向量法计算出二面角 余弦值的大小. 【详解】 （1）由题意知，等腰直角三角形 中，中线 ，且 ， 在直三棱柱 中， 底面 ， 、 平面 ，从而知 ， ， 一方面，在 中，因为 ， ，则 . 由 ，可得 ，从而可知 ，又 ， 则得 ，由此可得 ，即有 . 另一方面，由 ， ， ，得 平面 ， 又 平面 ，则知 . 综上， ，且 ，又 ，故 平面 ，得证之； （2）由题意，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建 立如下图所示的空间直角坐标系 ， 且有 、 、 、 、 ， 从而有 、 、 ， 1AF A E⊥ BC ⊥ 1A AE AF BC⊥ AF ⊥ 1A BC A AB AC 1AA x y z A xyz− 1 1B A E B− − ABC∆ AE BC⊥ 1 22AE BC= = 1 1 1ABC A B C− 1A A ⊥ ABC AE∵ BC ⊂ ABC 1AA AE⊥ 1AA BC⊥ 1Rt A AE∆ 1 2A A = 2AE = 1 6A E = 1 2A F FE= 6 3EF = 1A EAE EF AE = 1AEF A EA∠ = ∠ 1~AEF A EA∆ ∆ 1 90AFE A AE∠ = ∠ =  1AF A E⊥ 1AA BC⊥ AE BC⊥ 1AA AE A∩ = BC ⊥ 1A AE AF ⊂ 1A AE BC AF⊥ 1AF A E⊥ AF BC⊥ 1BC A E E= AF ⊥ 1A BC A AB AC 1AA x y z A xyz− ( )0,0,0A ( )1 0,0,2A ( )2,0,0B ( )0,2,0C ( )1,1,0E ( )1,1,0AE = ( )1 1, 1,2EA = − − ( )1 1 2,0,0A B = 由 ，可得 ， 记 为平面 的一个法向量， 则有 ，取 ，得 . 又由（1）知 平面 ，故可取 为平面 的一个法向量， 那么可得 . 因此，二面角 余弦值的大小为 . 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值， 考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19．某市房管局为了了解该市市民 年 月至 年 月期间买二手房情况，首先 随机抽样其中 名购房者，并对其购房面积 （单位：平方米， ）进 行了一次调查统计，制成了如图 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 年 月 至 年 月期间当月在售二手房均价 （单位：万元/平方米），制成了如图 所示的 散点图（图中月份代码 分别对应 年 月至 年 月）. （1）试估计该市市民的购房面积的中位数 ； （2）从该市 年 月至 年 月期间所有购买二手房中的市民中任取 人，用频 率估计概率，记这 人购房面积不低于 平方米的人数为 ，求 的数学期望； （3）根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理 得到两个回归方程，分别为 和 ，并 得到一些统计量的值如下表所示： 1 2A F FE=  1 1 2 2 2, ,3 3 3 3AF AE EF AE EA  = + = + =         ( ), ,n x y z= 1 1A B E 1 1 1 2 00 2 00 x y zn EA xn A B  − − − =⋅ =  ⇔  =⋅ =    1z = ( )0,2,1n = AF ⊥ 1A BC ( )3 1,1,12m AF= =  1A BE 3 15cos , 55 3 nn n m m m ⋅= = = ⋅      1 1B A E B− − 15 5 2018 1 2019 1 200 m 60 130m≤ ≤ 1 2018 1 2019 1 y 2 1 13− 2018 1 2019 1 0m 2018 1 2019 1 3 3 100 X X  = + y a b x   lny c d x= +  0.9369 0.0285y x= +  0.9554 0.0306lny x= + 请利用相关指数 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出 年 月份的二手房购房均价（精确到 ） （参考数据） ， ， ， ， ， ， . （参考公式） . 【答案】（1） ；（2） ；（3）模型 的拟合效果更好； 万元/平方米. 【解析】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为 可计算出中位数的值； （2）由题意可知， ，然后利用二项分布的期望公式求出 的值； （3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将 年 月份对应的代码 代入回归方程可求出 年 月份的二手房购房均价 的估计值. 【详解】 （1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为 ，前四组频率 和为 ，故中位数出现在第四组，且 ； （2）由频率分布直方图，可得 每一位市民购房面积不低于 平方米的概率为 ， 那么由题意则知 ，从而可得所求期望为 ； （3）设模型 和 的相关指数分别为 ，  0.9369 0.0285y x= +  0.9554 0.0306ln= +y x ( )13 2 1= −∑ i i i y y 0.000591 0.000164 ( )13 2 1 i i y y = −∑ 0.006050 2R 2019 12 0.001 ln 2 0.69≈ ln3 1.10≈ ln 23 3.14≈ ln 25 3.22≈ 2 141≈ 3 1.73≈ 23 4.80≈ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 = = − = − − ∑ ∑ n i i i n i i y y R y y 96 1.2  0.9554 0.0306lny x= + 1.052 0.5 ( )~ 3,0.4X B ( )E X 2019 12 24 2019 12 0.05 0.1 0.2 0.35+ + = 0.05 0.1 0.2 025 0.6+ + + = 0 0.1590 10 960.25m = + × = 100 0.2 0.15 0.05 0.4+ + = ( )~ 3,0.4X B ( ) 3 0.4 1.2= × =E X  0.9369 0.0285y x= +  0.955 0.0306ln= +y x 2 1R ，则 ， ，显然 . 故模型 的拟合效果更好. 由 年 月份对应的代码为 ， 则 万元/平方米. 【点睛】 本题考查频率分布直方图中中位数的计算，同时也考查了二项分布期望的计算以及回归 模型的选择，涉及了相关指数的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 、 分别是椭圆 的左、右焦点，其离心率 椭圆 右焦点 的直线 与椭 圆 交于 、 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说 明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， . 【解析】（1）求出抛物线 的焦点坐标可得出 ，再结合离心率求出 的值，由此 可得出椭圆 的方程； （2）分直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率不存在时，求出 、 两 点的坐标，验证 是否成立；在直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ，并设点 、 ，将直线 与椭圆 的方程联立，并列 出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算得出关于 的方程，解出即可. 【详解】 （1）由抛物线 的焦点为 ，则知 ， 又结合 ， ，解得 ，故椭圆方程为 ； （2）若直线 不存在，可得 ， ，不满足 ； 2 2R 2 1 0.0005911 0.006050R = − 2 2 0.0001641 0.006050R = − 2 2 1 2R R<  0.9554 0.0306lny x= + 2019 12 24  ( )0.9554 0.0306ln 24 0.9554 0.0306 3ln 2 ln3 1.052= + = + + ≈y ( )2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 : 4C x y= 1F 2F 1C 6 3e = 1C 2F l 1C A B 1C l 1OA OB⋅ = −  l 2 2 1 : 13 + =xC y ( )1 22y x= ± − 2C 1b = a 1C l l A B 1OA OB⋅ = −  l l ( )2y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l 1C k 2 2 : 4C x y= ( )0,1 1b = 2 2 2a b c= + 6 3 c a = 3a = 2 2 1 : 13 + =xC y l 32, 3       A 32, 3  −    B 1OA OB⋅ = −  故直线斜率必然存在，由椭圆右焦点 ，可设直线 为 ， 记直线 与椭圆的交点 、 ， 由 ，消去 整理得到 . 由题意可知 恒成立，且有 ， . 那么 则 ，解得 . 因此，直线 的方程为 . 【点睛】 本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求直线的方 程，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法计算，考查计算能力， 属于中等题. 21．已知函数 . （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若函数 在区间 内有两个极值点 、 ，求实数 的取值范 围； （3）在（1）的基础上，求证： . 【答案】（1）单增区间为 ，单减区间为 ；（2） ；（3）证明见解 析. 【解析】（1）将 代入函数 的解析式得出 ，然后利用 导数可求出函数 的单调增区间和减区间； ( )2 2,0F l ( )2y k x= − l ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 2 2 3 3 y k x x y  = − + = y ( )2 2 2 23 1 6 2 6 3 0+ − + − =k x k x k > 0∆ 2 1 2 2 6 2 3 1 kx x k + = + 2 1 2 2 6 3 3 1 kx x k −= + ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2y y k x x k x x x x = − − = − + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 12 6 2 3 1 3 1 3 1 3 1 k k k kk k k k k  − + −= − + = + + + +  2 1 2 1 2 2 5 3 13 1 kOA OB x x y y k −⋅ = + = = −+   1 2k = ± l ( )1 22y x= ± − ( ) ( )2 2ln 0 xef x a x xx x  = + − >   0a = ( ) ( )g x xf x= − ( )f x ( )0,2 1x ( )2 1 2x x x< a 1 2 2lnx x a+ < ( )1,+∞ ( )0,1 2 , 2 ee      0a = ( )y g x= ( ) ( )0 xeg x xx = > ( )y g x= （2）对函数 求导得出 ，问题转化为函数 在区间 内有两个函数，等价于直线 与函数 在区间 上有两个交点，利用数形结合思想可求出实数 的取值范围； （3）由题意得出 ，将两个等式相加得 ，利用分析法得出要证的不等式等价于 ，再将两等 式 相减得出 ，并证明出不等式 ， 从而可得出 ，从而得出 ，即可证明所证不等式成立. 【详解】 （1） 时， ，则 ， 由 ，得 ； ，得 . 因此，函数 的单增区间为 ，单减区间为 ； （2） ，其中 ， 由题意可知， 、 是函数 在区间 内的两个零点． 由 得 ，结合（1），则问题也等价于 在区间 有两个零 点， 从而，可转化为直线 与 的图象在 上有两个交点， 由（1）知，函数 在 上单减，在 上单增， 而当 时， ， ， ， 如下图所示： ( )y f x= ( ) ( )( ) 3 2 xx e ax f x x − −′ = xy e ax= − ( )0,2 y a= ( )y g x= ( )0,2 a ( ) ( ) 1 2 1 1 11 2 2 22 ln ln ln ln x x g x a x a xe ax g x a x a xe ax  = = +=  ⇔ ⇔  = = +=   1 2 1 22ln lnx x a x x+ = + 1 20 1x x< < 1 1 2 2 ln ln ln ln x a x x a x = +  = + 1 2 1 2 1ln ln x x x x − =− 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x − >− 1 2 1x x < 1 20 1x x< < 0a = ( ) ( )0 xeg x xx = > ( ) ( ) ( )2 1 0 xe xg x xx −′ = > ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< < ( )y g x= ( )1,+∞ ( )0,1 ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 (2 )21 2 0 2 xx x e axe xf x a xx x x x − −− ′ = − − = < <   3 2 0x x − > 1x 2x xy e ax= − ( )0,2 0xe ax− = xea x = ( )g x a= ( )0,2 y a= ( )y g x= ( )0,2x∈ ( )y g x= ( )0,1 ( )1,2 0x → ( )g x → +∞ ( ) ( )min 1g x g e= = ( ) 2 2 2 eg = 由图象可知，当 时，直线 与函数 在区间 上的图象有两 个交点，因此，实数 的取值范围是 ； （3）由（2）可知， 、 为 在区间 内的两个根， 且 ，其中 是函数 的极小值点， . 由 ，可得 故所证 . 下面证明出 ，即证 . 设 ，即证 ，即证 . 构造函数 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在区间 上单调递增，当 时， . 所以，当 时， ，所以， . 将等式 两式相减得 ， . ，因此， . 2 2 ee a< < y a= ( )y g x= ( )0,2 a 2 , 2 ee      1x 2x ( ) xeg x ax = = ( )0,2 1 20 1 2x x< < < < 1x = ( )y g x= 2 2 ee a< < ( ) ( ) 1 2 1 1 11 2 2 22 ln ln ln ln x x g x a x a xe ax g x a x a xe ax  = = +=  ⇔ ⇔  = = +=   1 2 1 22ln lnx x a x x+ = + 1 2 1 2 1 22ln ln 0 0 1x x a x x x x+ < ⇔ < ⇔ < < 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x − >− 1 1 2 1 2 2 2 11 2 ln x x x x x x x xx x −> = − ( )1 2 0,1xt x = ∈ 2 1lnt t t > − ( )12ln 0 0 1t t tt − − < < < ( ) 12lnt t t t ϕ = − − 0 1t< < ( ) ( )2 2 2 12 11 0tt t t t ϕ −′ = − + = > ( )y tϕ= ( )0,1 0 1t< < ( ) ( )1 0tϕ ϕ< = 0 1t< < 12ln 0t t t − − < 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x − >− 1 1 2 2 ln ln ln ln x a x x a x = +  = + 1 2 1 2ln lnx x x x− = − 1 2 1 2 1ln ln x x x x −∴ =− 1 2 1 2 1 2 1ln ln x xx x x x −∴ < =− 1 20 1x x< < 所以， . 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用极值点的个数求参数以及利用 导数处理极值点偏移的问题，在处理极值点的个数问题时，一般将问题转化为导函数的 零点个数问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 22．已知极点与坐标原点 重合，极轴与 轴非负半轴重合， 是曲线 上任一点 满足 ，设点 的轨迹为 . （1）求曲线 的平面直角坐标方程； （2）将曲线 向右平移 个单位后得到曲线 ，设曲线 与直线 （ 为 参数）相交于 、 两点，记点 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设点 的极坐标为 ，可得出点 的极坐标为 ，将点 的 极坐标代入曲线 的极坐标方程，可得出曲线 的极坐标方程，再将此极坐标方程化 为直角坐标方程； （2）根据平移规律得出曲线 的直角坐标方程，然后将直线 的参数方程化为 （ 为参数），并将该参数方程与曲线 的方程联立，列出韦达定理，利 用韦达定理可计算出 的值. 【详解】 （1）设 ，由 可知点 ，那么 . 将 代入曲线 ，得 ， 则曲线 的极坐标方程为 化为直角坐标方程，即得 为所求； （2）将曲线 向右平移 个单位后，得到曲线 的方程为 . 1 2 2lnx x a+ < O x M 1 : 2sinC ρ θ= P 3OP OM=  P Q Q Q 1 N N : 1 x tl y t = −  = + t A B ( )0,1T TA TB+ ( )22 3 9x y+ − = 3 2 P ( ),ρ θ M ,3 ρ θ     M 1C Q N l 2 2 21 2 x t y t  = −  = + t N TA TB+ ( ),P ρ θ 3OP OM=  3OP OM= ,3M ρ θ     ,3M ρ θ     C 2sin3 ρ θ= Q 6sinρ θ= ( )22 3 9x y+ − = Q 1 N ( ) ( )2 21 3 9x y− + − = 将直线 的参数方程化为 （ 为参数）， 代入曲线 的方程，整理得到 ， 记交点 、 对应的参数分别为 、 ，那么 ， . 那么， 为所求. 【点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与圆的综合问题，涉及 的几何意义 的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数 . （1）解不等式： ； （2）若 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】（1）讨论 x 的范围，去掉绝对值符号解不等式； （2）利用绝对值三角不等式证明． 【详解】 （1）不等式化为 . 当 时，原不等式等价于 ，即 ； 当 时，原不等式等价于 ，即 ； 当 时，原不等式等价于 ，即 . 综上，原不等式的解集为 . （2）由题意得 ， 所以 成立. 【点睛】 l 2 2 21 2 x t y t  = −  = + t N 2 2 4 0t t− − = A B 1t 2t 1 2 2 0t t+ = > 1 2 4 0t t⋅ = − < ( )2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 16 3 2TA TB t t t t t t t t+ = + = − = + − = + = t ( ) 5f x x= − ( ) ( 2) 3f x f x+ + ≤ 0a < ( ) (5 ) ( )f ax f a af x− ≥ 5 11,2 2      5 3 3x x− + − ≤ 3x < 2 5x− ≤ − 5 32 x≤ < 3 5x≤ ≤ 2 3≤ 3 5x≤ ≤ 5x > 2 8 3x − ≤ 115 2x< ≤ 5 11,2 2      ( ) ( ) 5 5f ax af x ax a x− = − − − 5 5 5 5ax ax a ax ax a= − + − + ≥ − − + ( )5 5 5a f a= − = ( ) ( ) ( )5f ax f a af x− ≥ 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想， 属于基础题．