数学卷·2017届浙江省绍兴一中高三上学期期末考试（2017

数学卷·2017届浙江省绍兴一中高三上学期期末考试（2017

绍兴一中2016学年第一学期期末考试 高三数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分 ‎1. 设全集U=R,集合，，若A与B的关系如右图所示,则实数a的取值范围是 （ C ）‎ A． B． 【来源：全,品…中&高*考+网】C． D．‎ ‎2. “”是“tanx=1”成立的 ( C )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(第3题图)‎ ‎ A.2 　　　 B. C.4 　 D.5‎ ‎4. 已知等比数列，其前4项和等于（ A ）‎ ‎ A．8 B．6 C．—8 D．—6‎ ‎5. 在（x-y）10的展开式中，系数最小的项是 ( C )‎ A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 ‎6. 给定下列四个命题：‎ ‎①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是(　D　) ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎7．若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ B ）‎ ‎8. 已知函数，其中为实数，若对于任意恒成立，‎ 且，则的值为 ( D )‎ A． B．0 C． D．‎ ‎9. 已知抛物线y2＝4x的焦点F，若A,B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N,则的最大值为 ( C )‎ A. B.1 C. D. ‎ ‎10．如图，在棱长为1的正方体中，‎ 分别是线段上的点，是直线上的点，满足 ‎∥平面，，且P、Q不是正方体的顶点，则的最小值是（ B ）‎ Ａ． B． Ｃ． D．‎ 二、填空题：本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每题4分，共36分 ‎11.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 5 ，的值为．【来源：全,品…中&高*考+网】12．已知实数x,y满足， 2x+y的最大值为 11 ，其对应的最优解为．【来源：全,品…中&高*考+网】13. 过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则圆的半径为___2___,直线被圆截得的弦长为____________‎ ‎14．甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则不同的的选法共有____36_‎ ‎____种，2人所选课程至少有一门相同的概率为______________‎ ‎15.设等差数列的前n项和为，若数列是单调递增数列，且满足，则的取值范围是 _________ ‎ ‎16．正实数满足，则的最小值 ．‎ ‎17. 在平面上,,,,则的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .‎ ‎18. 在中，分别为角的对边，且满足.‎ ‎（1）求角的值；（2）若，记的周长为，试求的取值范围.‎ 解：（1）由余弦定理得，所以；‎ ‎（2）设角的大小为由及正弦定理 得，得，，其中 所以周长 由于得，从而周长 ‎19.（本题满分15分） 如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ 在图1中,可得,从而,故 ‎∵面面,面面,面,从而平面 ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,则,,‎ ‎, ‎ x A B C D M y z O 设为面的法向量,‎ 则即,解得 令,可得 又为面的一个法向量 ‎∴‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20．（本题满分15分）已知，.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；‎ 解析 (1)　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当x∈时，f′(x)＜0；‎ 当x∈时，f′(x)＞0.‎ 所以f(x)在上单调递减；在上单调递增．‎ ‎ (2)存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)能成立，‎ 等价于a≥(2ln x＋x＋)min.‎ 记h(x)＝2ln x＋x＋，x∈(0，＋∞)，‎ 则h′(x)＝＋1－＝＝.‎ 当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0.‎ 所以当x＝1时，h(x)取最小值为4，故a≥4.‎ ‎21. （本题满分15分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．‎ ‎（1）若点P的坐标为 (1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．‎ ‎（第21题）‎ x O y P F1‎ F2‎ Q ‎ ‎ ‎【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]． ‎ ‎【解析】‎ ‎（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．‎ 因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分 因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．‎ 由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，‎ 解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)． …………………… 11分 因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，‎ 即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，‎ 因为λ＋1≠0，‎ 所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3． …………………… 14分 因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．‎ 所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 15分 方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．‎ 因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分 因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．‎ 由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．‎ 因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，‎ 则x1＋c＝－，即－c－x1＝． …………………… 11分 因为＝λ，‎ 所以λ＝＝＝＝＝＝－3． …………………… 14分 因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．‎ 所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 15分 ‎22. （本题满分15分）已知数列{}满足：，‎ ‎（1）求；（2）证明数列为递增数列； （3）求证：‎ 解析 (1) ，‎ ‎（2）对恒成立，‎ ‎（3）‎ 故 ‎1、设等差数列的前项和为，，则正整数的值为 。5‎