2013浙江卷（理）数学试题

2013浙江卷（理）数学试题

‎2013·浙江卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　)‎ A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i ‎1．B　[解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择B.‎ ‎2． 设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁S)∪T＝(　　)‎ A．(－2，1] B．(－∞，－4]‎ C．(－∞，1] D．[1，＋∞)‎ ‎2．C　[解析] ∁S＝{x|x≤－2}，T＝{x|(x＋4)(x－1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁S)∪T＝(－∞，1]．故选择C.‎ ‎3．， 已知x，y为正实数，则(　　)‎ A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y ‎3．D　[解析] ∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择D.‎ ‎4． 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)‎ ‎(A>0，ω>0，φ∈)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．B　[解析] f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数的充要条件是f(0)＝0，即cos φ＝0，φ＝kπ＋，k∈，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选择B.‎ ‎5． 某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是，则(　　)‎ 图1－1‎ A．a＝4 B．a＝5‎ C．a＝6 D．a＝7‎ ‎5．A　[解析] S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－ ‎＝2－＝，故k＝4，k＝k＋1＝5，满足k>a时，即5>a时，输出S，所以a＝4，选择A.‎ ‎6． 已知α∈，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎6．C　[解析] 由(sin α＋2cos α)2＝2'得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝，4sin αcos α＋1＋3cos2α＝，2sin 2α＋1＋3×＝，故2sin 2α＝－，所以tan 2α＝－，选择C.‎ ‎7． 设△ABC，P0是边AB 上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)‎ A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°‎ C．AB＝AC D．AC＝BC ‎7．D　[解析] 建立以AB的中点O为原点的坐标系，如图所示，·＝(c－x，0)·(a－x，b)＝x2－(a＋c)x＋ac，当x＝时，·最小，而已知·最小，所以＝，此时a＝0，所以AC＝BC，选择D.‎ ‎8． 已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则(　　)‎ A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 ‎8．C　[解析] 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝xex－1，则在x＝1处取不到极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝ex(x－1)2＋(ex－1)×2(x－1)＝(x－1)(xex＋ex－2)，f′(1)＝0，f′(2)>0，f′<0，所以在x＝1处取得极小值．‎ 图1－2‎ ‎9．， 如图1－2，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C ‎1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．D　[解析] 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2 ，a＝，则双曲线的离心率e＝＝＝，选择D.‎ ‎10． 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则(　　)‎ A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°‎ C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°‎ ‎10．A　[解析] 当α⊥β，且α∩β＝b，设fα(P)＝A，则PA⊥α，Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(A)，故AQ1⊥β；同理设fβ(P)＝B，则PB⊥β，Q2＝fα[fβ(P)]＝fα(B)，故BQ2⊥α，故AQ1∥PB，PA∥BQ2，所以Q1和Q2重合，恒有PQ1＝PQ2，选择A.‎ ‎11． 设二项式－5的展开式中常数项为A，则A＝________．‎ ‎11．－10　[解析] Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，则＝0，r＝3，故常数项A＝T4＝(－1)3C＝－10.‎ ‎12． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则此几何体的体积等于________cm3.‎ 图1－3‎ ‎12．24　[解析] 此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为×3×4×5－××3×4×3＝24.‎ ‎13． 设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．‎ ‎13．2　[解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.‎ ‎14． 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．‎ ‎14．480　[解析] 先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有4CA＝480种．‎ ‎15． 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．‎ ‎15．±1　[解析] 设直线l：my＝x＋1，代入y2＝4x得y2－4my＋4＝0，则yA＋yB＝4m，因为Q为线段AB的中点，则yQ＝＝2m，xQ＝myQ－1＝2m2－1，故Q(2m2－1，2m)，又|FQ|2＝4，(2m2－2)2＋(2m)2＝4⇒m4－m2＝0，所以m＝±1.‎ ‎16． 在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________．‎ ‎16.　[解析] 设△ABC的三边长为a，b，c，tan∠BAM＝.‎ 而tan∠BAM＝tan(∠BAC－∠CAM)＝＝＝＝，‎ 则＝1＋⇒－2＋2＝0⇒－2＝0，故＝⇒sin ∠BAC＝＝＝＝.‎ ‎17． 设1，2为单位向量，非零向量＝x1＋y2，x，y∈若1，2的夹角为，则的最大值等于________．‎ ‎17．2　[解析] ＝＝＝＝＝≤＝2.‎ ‎18． 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．‎ ‎(1)求d，an；‎ ‎(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.‎ ‎18．解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，‎ 即d2－3d－4＝0.‎ 所以d＝－1或d＝4.‎ 所以an＝－n＋11，n∈*或an＝4n＋6，n∈*.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则 当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|‎ ‎＝－n2＋n.‎ 当n≥12时， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.‎ 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ ‎19． 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.‎ ‎19．解：(1)由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝.‎ P(ξ＝5)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (2)由题意知η的分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Eη＝＋＋＝，‎ Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·＝，‎ 化简得解得a＝3c，b＝2c，‎ 故a∶b∶c＝3∶2∶1.‎ 图1－4‎ ‎20．， 如图1－4所示，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.‎ ‎(1)证明：PQ∥平面BCD.‎ ‎(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．‎ ‎20．解：方法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC.联结OP，OF，FQ.‎ 因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD.‎ 因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以 OP∥DM，且OP＝DM.‎ 又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD.‎ 从而OP∥FQ，且OP＝FQ，‎ 所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.‎ 又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.‎ ‎(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，联结CH.‎ 因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG.‎ 又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.‎ 又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，所以CH⊥BM.‎ 所以∠CHG为二面角C－BM－D的平面角，即∠CHG＝60°.‎ 设∠BDC＝θ，在Rt△BCD中，‎ CD＝BDcos θ＝2 cos θ，‎ CG＝CDsin θ＝2 cos θsin θ，‎ BG＝BCsin θ＝2 sin2θ，‎ 在Rt△BDM中，HG＝＝.‎ 在Rt△CHG中，tan∠CHG＝＝＝.‎ 所以tan θ＝，从而θ＝60°，‎ 即∠BDC＝60°.‎ 方法二：‎ ‎(1)证明：如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 由题意知A(0，，2)，‎ B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0，0)，因为＝3，所以Qx0，＋y0，.‎ 因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P0，0，.所以＝x0，＋y0，0.‎ 又平面BCD的一个法向量为＝(0，0，1)，故·＝0.‎ 又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.‎ ‎(2)设＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．‎ 由＝(－x0，－y0，1)，＝(0，2 ，1)，‎ 知 取y＝－1，得＝，－1，2 .‎ 又平面BDM的一个法向量为＝(1，0，0)，于是 ‎|cos〈，〉|＝＝＝，‎ 即2＝3.①‎ 又BC⊥CD，所以·＝0，‎ 故(－x0，－－y0，0)·(－x0，－y0，0)＝0，‎ 即x＋y＝2.②‎ 联立①②，解得(舍去)或 所以tan∠BDC＝＝.‎ 又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.‎ 图1－5‎ ‎21．， 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．‎ ‎21．解：(1)由题意得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.‎ 又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，‎ 所以|AB|＝2 ＝2 .‎ 又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.‎ 由 消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.‎ 故x0＝－，‎ 所以|PD|＝.‎ 设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|＝，‎ 所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．‎ 所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.‎ ‎22． 已知a∈，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值．‎ ‎22．解：(1)由题意 f′(x)＝3x2－6x＋3a，故 f′(1)＝3a－3.‎ 又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.‎ ‎(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故 ‎①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故 ‎|f(x)|max＝max {|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.‎ ‎②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故 ‎|f(x)|max＝max {|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.‎ ‎③当00，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)>0.‎ 从而f(x1)>|f(x2)|.‎ 所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．‎ ‎(Ⅰ)当0|f(2)|.‎ 又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，‎ 故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).‎ ‎(Ⅱ)当≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．‎ 又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝.‎ 所以(i)当≤a<时，f(x1)>|f(2)|.‎ 故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a).‎ ‎(ii)当≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|.‎ 故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.‎ 综上所述，‎ ‎|f(x)|max＝ 自选模块 ‎1． (1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.‎ ‎(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．‎ ‎1．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；‎ 当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈∅；‎ 当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.‎ 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，‎ 当且仅当1≤x≤4时取等号；‎ x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．‎ 故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．‎ 所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1.‎ ‎2．， 已知a∈“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块 ‎(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．‎ ‎(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．‎ ‎2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.‎ 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ 故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.‎ 又(0，0)满足原极坐标方程．‎ 故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.‎ ‎(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.‎ 设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为 (t为参数)．‎ 及点A，B对应的参数分别为t1，t2.‎ 将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得 ‎(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.‎ 即(1＋sin2α)t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.‎ 则Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，‎ 由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.‎ 故sin2 α＝.又由Δ>0得0

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