【推荐】专题06+解密数量积的问题-2018版高人一筹之高三数学（理）二轮复习特色专题训练

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一、单选题 1．已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 的值为(　　) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 【答案】C 【解析】根据正四面体的的棱长为 ，画出图形如下： 故选 2．已知向量 、 夹角为 ，且 ， ，若 ，且 ，则实 数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C AE AF⋅  1 2 1 4 3 4 a ( ) ( ) 21 1 1 1cos60 a2 2 4 4AE AF AB AC AD a a a a→⋅→ = →+ → ⋅ → = ⋅ + ⋅ ° = C AB AC 120° 2AB = 3AC = AP AB ACλ= +   AP BC⊥  λ 4 5 1 6 7 12 2 5 − 解得 ， 故选：C 3．已知 是边长为 的等边三角形，点 在边 上，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形 ， 且 ， ，故选 B. 4．已知圆 是 外接圆,其半径为 1,且 ,则 A. B. C. D. 【答案】B 7 12 λ = ABC∆ 1 D BC 2BD DC= AB AD⋅  31 3 − 2 3 4 3 31 3 + ABC∆ 1 22 , 3BD DC BD BC= ∴ =  ( ) 2 2 3AB AD AB AB BD AB AB BC∴ ⋅ = ⋅ + = + ⋅        2 1 21 1 13 2 3  = + × × × − =   O ΔABC 2 , 1AB AC AO AB+ = =   ·CACB =  3 2 3 3 2 3 5．平行四边形 中， , 点 P 在边 CD 上，则 的取值范围是（ ） A. [-1,8] B. C. [0,8] D. [-1,0] 【答案】A 【解析】∵ , ，∴ ，∴ ，A=60°， 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 轴，以 AB 的垂线为 轴，建立如图所示的坐标系， ∴A(0,0),B(4,0), ， 设 ，∴ ， ∴ ， 设 ，∴ 在 上单调递减,在 上单调递增， 结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： ，函数的最大值为 ， 则 的取值范围是[−1,8]， 本题选择 A 选项. ABCD 4, 2, 4AB AD AB AD= = ⋅ =  PA PB⋅  [ )1,− +∞ 4, 2AB AD= = 4AB AD⋅ =  cos 4AB AD A× × =  1cos 2A = x y ( )1, 3D ( )( ), 3 1 5P x x≤ ≤ ( ) ( ), 3 , 4 , 3PA x PB x= − − = − −  ( ) ( )224 3 4 3 2 1PA PB x x x x x⋅ = − + = − + = − −  ( ) ( )22 1f x x= − − ( )f x [ )1,2 [ ]2,5 ( )2 1f = − ( )5 8f = PA PB⋅  点睛：在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用 坐标运算题目会容易的多． 6 ． 在 直 角 三 角 形 中 ， 角 为 直 角 ， 且 ， 点 是 斜 边 上 的 一 个 三 等 分 点 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 7．设 ， 且 ， 则 在 上的投影的取值范 围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】法 1：因为 ，所以 三点共线. 如图（1），当 在 之间时（含 两点）， 在 的投影的取值范围是 ； ABC C 1AC BC= = P · ·CP CB CP CA+ =    0 1 9 4 9 4 − 1, 2, 0,OA OB OA OB OP OA OBλ µ= = ⋅ = = + 1λ µ+ = OA OP 2 5 ,15  −   2 5 ,15      5 ,15      5 ,15  −   1λ µ+ = , ,A B P P ,A B ,A B OA OP [ ]0,1 如图（2），当 在 的延长线上时（不含 点）， 在 的投影的取值范围是 （当 接近 于平行 时， 在 的投影无限接近于 ）； 如图（3），当 在 的延长线上时（不含 点）， 在 的投影的取值范围是 （当 接 近于平行 时， 在 的投影的无限接近于 ）； 综上， 在 的投影的取值范围是 . P BA A OA OP 5 ,15      OP AB OA OP 5 5 P AB A OA OP 5 ,05  −    OP AB OA OP 5 5 − OA OP 5 ,15  −   点睛：处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式 蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏 的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题. 二、填空题 8．已知 是边长为 2 的等边三角形， 为边 的中点，则 __________． 【答案】3 【 解 析 】 ∵E 为 等 边 三 角 形 ABCBC 的 中 点 ， ∴∠BAE=30° ， AE= , 故答案为 3 ABC∆ E BC AE AB⋅ =  3 3cos30 2 3 32 oAE AB AE AB∴ ⋅ = = × × =    9．已知点 是边长为 的正三角形 内切圆上的一点，则 的取值范围为_______. 【答案】 10 ． 在 中 ， ， 点 是 所 在 平 面 内 一 点 ， 则 当 取得最小值时， __________． 【答案】-9 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 以点 A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(6,0)，C(0,3)，设 ， 所以 P 2 3 ABC PA PB⋅  [ ]3,1− ABC∆ 22 6,AB AC BA BC BA= = ⋅ =   P ABC∆ 2 2 2PA PB PC+ +   AP BC⋅ =  2 BA BC BA⋅ =   ( )2 0BA BC BA BA BC BA BA AC⋅ − = ⋅ − = ⋅ =        BA AC⊥  BA AC⊥ ( ),P x y ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 26 3PA PB PC x y x y x y+ + = + + − + + + −   2 23 12 3 6 45x x y y= − + − + ． 所以当 时 有最小值，此时 ． 答案： 点睛：数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运 算可使得数量积的计算变得简单易行．在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数 的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用． 11．已知 是以 为直径的圆上的两点，且 ,则 的值为__________． 【答案】21 12．在△ABC 中，AB=2，AC=4，cosA= ，过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M，若点 N 满足 ，则 =_____． 【答案】 ( ) ( )2 23 2 1 10x y = − + − +  2, 1x y= = 2 2 2 PA PB PC+ +   ( ) ( )2,1 6,3 9AP BC⋅ = ⋅ − = −  9− ,B D AC 2, 5AB AD= = AC BD⋅  1 8 3AM AN=  NA NB⋅  7 9 − ∵ ， ∴ ，在 中， ， ∵点 满足 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . AC BC< 2cos 4ABC∠ = Rt AMB∆ 2 2 14 14cos 2 , 24 2 4 2BM AB ABC MA AB sin ABC= ⋅ ∠ = × = = ⋅ ∠ = × = N 2AM AN=  2 14 2 3MN AM= =  14 14 20, , 0, , ,02 3 2A N B      −                14 2 140, , ,6 2 3NA NB    = = − −            14 14 70 6 3 9NA NB  ⋅ = + × − = −      13．在平面直角坐标系中，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(1,0)，P 是 x 轴上任意一点，平面上点 M 满足： 对任意 P 恒成立，则点 M 的轨迹方程为______． 【答案】x＝0 14．已知菱形 的边长为 2， ， 是线段 上一点，则 的最小值是 _____________. 【答案】 PM PB CM CB⋅ ≥ ⋅    ABCD 060DAB∠ = P BD ( )•PA PC PD+   25 8 − 【解析】以 所在直线为 轴 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图: 由题意可知 ， ， ， ，设 ，则 故 ，当 时取得最小值 点睛：本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表 示，设出 点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于 的一个一元二次函数的最值问题即可 15．已知正方形 的边长为 2，则 ______________. 【答案】4 【解析】∵ 为正方形 ∴ 故答案为 16．在△ABC 中， ∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E 是线段 AC 的三等分点，则 的值为 _____． 【答案】 AC x BD y ( )3,0A − ( )0, 1B − ( )3,0C ( )0,1D ( )0,P y 1 1y− < < ( ) 2• 2 3PA PC PD y y+ = − −   1 4y = 25 8 − P y ABCD ( )•AB AC AD+ =   ABCD ( ) 2cos45 2 2 2 42AB AC AD AB AC AB AD AB AC⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ ° = × × =         4 BD BE⋅  11 9 17．若等边 的边长为 2，平面内一点 满足 ，则 ________. 【答案】 【解析】由于 ＝ － ＝－ ， ＝ － ＝ ， 故 ， ＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2×cos 60°＝－ . 18．已知圆 的方程为 ， 是椭圆 上一点，过 作圆的两条切线，切点为 、 ，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 ABC∆ M 1 1 3 2CM CB CA= +   MA MB⋅ =  8 9 − MA CA CM 1 1 3 2CB CA+  MB CB CM 2 1 3 2CB CA−  2 22 1 1 ·9 4 2MA MB CB CA CB CA⋅ = − − +      2 9 1 4 1 2 8 9 C ( )2 22 4x y− + = P 2 2 116 12 x y+ = P A B PA PB⋅  2248 2 12 9  −  ， 点睛：本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值， 属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向 量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。