高中数学讲义微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底

高中数学讲义微专题36 向量的数量积——寻找合适的基底

微专题 36 向量的数量积——寻找合适的基底 在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量 数量积的问题，如果无法寻找到计算 数量积的要素（ 模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将 两个向量 表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法 一、基础知识： （一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则： 1、平面向量基本定理：若向量 为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量 ，均存在唯一一对实数 ，使得 。其中 成为平面向量的一组基底。 （简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量） 2、向量数量积运算 ，其中 为向量 的夹角 3、向量夹角的确定：向量 的夹角 指的是将 的起点重合所成的角， 其中 ：同向 ：反向 ： 4、数量积运算法则： （1）交换律： （2）系数结合律： （3）分配律： 因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘 的展开式规律相同： 例如： 5、若 ，则 由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将 用基底表示出来，则可计算 （二）选择合适基底解题的步骤与技巧： 1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那 就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边 ,a b  ,a b  ,a b  1 2e e ， a 1 2,  1 1 2 2a e e     1 2e e ， cosa b a b        ,a b  ,a b   ,a b   0,  0    2   a b  a b b a            a b a b a b R               a b c a c b c             2 2 2 2a b a a b b              0a b a b       1 1 2 2 1 1 2 2+ , +a e e b e e               2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2+ + =a b e e e e e e e e                           ,a b  a b  所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。 2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法 有： （1）向量的加减运算 （2）“爪”字型图：在 中， 是 上的点，如果 ，则 ，其 中 知二可求一。特别的，如果 是 边上的 中 线，则 3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要 注意基底的夹角 二、例题精炼 例 1:如图，在 中， 是边 上一点， ， 则 _______________ 思路： 模长未知（ 尚可求出），夹角未知， 所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底， ，可计算出 ,进而对于 ,模长均已知，数量积已求，条件齐备， 适合作为基底。用 表示 ： , , 答案： 例 2：如图，已知在 中， ，则 ______ 思路：观察条件， 很难直接利用公式求解.考虑 选 择两个向量表示 ,条件中 (数量积有了）， （模 长 有了），所以考虑用 作为基底。下一步只需将 表示出来， ABC D BC : :BD CD m n m nAD AC ABm n m n      , ,AD AB AC   AD BC 1 1 2 2AD AC AB    ABC 120 , 2, 1,BAC AB AC D    BC 2DC BD AD BC   ,AD BC  BC 120 , 2, 1BAC AB AC    cos120 1AB AC AB AC        ,AB AC  ,AB AC  AD BC  BC AC AB    1 2 3 3AD AC AB      2 21 2 1 1 2 8 3 3 3 3 3 3AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB                         8 3AD BC    ABC , 3 , 1AD AB BC BD AD     AC AD   ,AC AD  ,AC AD  0AD AB AD AB     1AD  ,AB AD  AC B C A D B C A D m n A B CD B C A D E （底边比值——联想到“爪”字型图） ,解得： 所以 答案： 例 3:在边长为 1 的正三角形 中，设 ，则 __________ 思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量， 两两数量 积均可计算，所以考虑 用三边向量进行表示，表示的方法很多， 例如 观察“爪”字形图可得 , (注意向量夹角） 答案： 小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以 为坐标原点， 所在直线 为 轴， 所在直线为 轴。 坐标完成之时，就是 计算的完成之日，且此法 在计算上更为简便。 例 4：如图，在 中，已知 ，点 分别在边 上， 且 ，点 为 中点，则 的值是（ ） A. B. C. D. 思路：在本题中已知 及两个向量的夹角，所 以考虑将 作为一组基底。则考虑将 用 进行表示，再做数量积即可 解： 且 ，所以有：  3 : 1: 3 1BC BD BD CD     3 1 1 3 3 AD AB AC     3 3 1AC AD AB        2 3 3 1 3 3AC AD AD AB AD AD            3AC AD   ABC 2 , 3BC BD CA CE     AD BE   ,AD BE   1 2AD AB AC    2 1 3 3BE BC BA     1 2 1 1 2 3 3 4AD BE AB AC BC BA                 1 4AD BE    D BC x AD y ,D E AD BE  ABC 4, 6, 60AB AC BAC     ,D E ,AB AC 2 , 3AB AD AC AE     F DE BF DE  2 3 4 5 ,AB AC  ,AB AC  ,BF DE  ,AB AC   1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2BF BD DF BA DE BA AE AD AB AC AB                         1 3 6 4AC AB   1 1 3 2DE AE AD AC AB        F A B C D E 由已知可得： 答案：C 例 5：已知向量 的夹角是 ，且 ，若 ，且 ，则实数 的值是____________ 思路：题中 模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示 ，再根据 求出 即可 解： 即 ① ①式变为： 解得 答案： 例 6：在边长为 的正三角形 中， ，则 的最大值为___________ 答案： 思路：所给 为等边三角形，则三边所成向量两两数量 积可解。所以用三边向量将 表示出来，再作数量积 运算并利用 消元即可求出最值 解： 2 21 3 1 1 1 1 3 6 4 3 2 18 3 8BF DE AC AB AC AB AC AB AC AB                            2 2 16, 36, cos 12AB AC AB AC AB AC BAC           4BF DE    ,AB AC  120 2, 3AB AC   AP AB AC    AP BC   ,AB AC  ,AP BC  AP BC   BC AC AB    AP BC      0 0AP BC AB AC AC AB              2 2 1 0AB AC AB AC          2 2 4, 9, cos 3AB AC AB AC AB AC BAC               4 9 3 1 0      12 7  12 7 1 ABC , , 0, 0, 1BD xBA CE yCA x y x y         CD BE  3 8 ABC ,CD BE  1x y  CD CB BD CB xBA        BE BC CE BC yCA            2 CD BE CB xBA BC yCA BC yCB CA xBA BC xyBA CA                          A B C D E 且 等号成立条件： 答案： 小炼有话说：（1）本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决： （2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题中 用 把 消掉，则 所满足的条件除了已知的 之外，还有 ，即 例 7：如图，在四边形 中， 是等边三角形，则 的值为_____________ 思路：从条件中可分析 ， 的边所成的向量两 两之 间数量积可求，其公共边为 ，所以以 作为突破口， 所求 数量积中只有 需要转换，可得 ，所以 ，进而可 解 解： 在 中， 在等边三角形 中，  1 1 1 1 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2y x xy y x xy xy             1x y  1y x   0 1x      2 21 1 1 1 1 3 31 12 2 2 2 2 4 8CD BE x x x x x                          1 2x   max 3 8CD BE    3 8     21 1 1 1 1 1 31 1 12 2 2 2 2 2 8 8 x yCD BE y x xy y x                       x y x 0x  0 1 0y y x     1x  ABCD , 3, 4,AB BC AB BC ACD    AC BD  ABC ADC AC AC BD BD BC CD     AC BD AC BC CD AC BC AC CD                BD BC CD     AC BD AC BC CD AC BC AC CD                 Rt ABC 2 2 5AC AB BC    ADC 5DC AC  2 cos 16BCAC BC AC BC ACB AC BC BCAC               A B C D 答案： 小炼有话说：（1）在求 时要注意夹角不是 ，而是它的补角！ （2）在求 也可以用投影定义来解，即 在 上的投影为 ，所以 例 8：如图，四边形 满足 ，若 是 的 中点，则 （ ） A. B. C. D. 思路：本题要抓住 这个条件，所 求表达式中主要解决 。从图中可发现 分别是 的中线，从而 可用条件中的向量进行表示： ，从而求 得表达式的值 解： 答案：D 例 9：菱形 边长为 ， ，点 分别在 上，且 ，若   25cos 2AC CD AC CD ACD         7 2AC BD    7 2 AC CD  ACD AC BC  AC BC BC 2 AC BC BC    ABCD 0, 2 2AB AC DB DC AB DC           M BC AB AM DM DC       1 1 3 2 3 2 0AB AC DB DC       ,AM DM  ,AM DM ,ABC BDC  ,AM DM     1 1,2 2AM AB AC DM DB DC            1 1,2 2AM AB AC DM DB DC            1 1 2 2AB AM DM DC AB AB AC DC DB DC                   2 21 1 1 1 2 2 2 2AB AB AC DC DB DC           0, 2 2AB AC DB DC AB DC            1DC  2 21 1 3 2 2 2AB AM DM DC AB DC            ABCD 2 120BAD   ,E F ,BC CD ,BE BC DF DC      B C A D E F ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以 考虑将题目中所给的 所涉及的向量用菱形的边和 进行表示， 进而列出关于 的方程，解出方程便可求出 解： 答案：D 例 10：已知向量 满足条件： ，且 ， 点 是 内一动点，则 _________ 思路：本题已知 模长，可对 进行变形得到更多条件： ，同理 ，从而可将所求式子中的向量均用 表示再进行计算即 可。 解： ，代入 31, 2AE AF CE CF           1 2 3 2 5 4 7 12 31, 2AE AF CE CF        ,  ,    ,AE AB BE AB BC AF AD DF AD DC                     1 , 1CE CB CF CD           AE AF AB BC AD DC            2 4 4 2AB AD BC AD DC AB BC DC                              1 1 2 1CE CF CB CD                          732 4 2 1 2 1223 112 1 2 34                                            , ,OA OB OC   0OA OB OC      2OA OB OC     P ABC AB AP BC BP CA CP           , ,OA OB OC   0OA OB OC       2 2 0 2OA OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB                         2OB OC OC OA        , ,OA OB OC      2 2 0OA OB OC OA OB OC OA OB OC                    2 2 2 2OA OB OA OB OC         2OA OB OC     可得： ，同理 答案： 小炼有话说：（1）本题在处理 关系时，从 入手两边同时模长 平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式→数量积等式”的常见变形方法 （2）在处理 关系时也可以通过数形结合，从 和 中发现 在图像上的特点，推断出两两夹角 从而计算 出它们的数量积 （3） 为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正规 方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即 为等 边三角形，且 是中心，然后再给 选择一个特殊位置（比如与 重合）计算出结果。 2OA OB    2OB OC OC OA OA OB            AB AP BC BP CA CP                      OB OA OP OA OC OB OP OB OA OC OP OC                              OB OA OP OB OA OA OC OB OP OC OB OB                          OA OC OP OA OC OC                  OB OA OC OB OA OC OP OB OA OC OB OA OC                            2 2 2 OA OB OC      6 12 18     18 , ,OA OB OC   OA OB OC     , ,OA OB OC   0OA OB OC      2OA OB OC     , ,OA OB OC   120 P ABC O P O