上海市曹杨中学等四校联考2015-2016学年高一（上）期中数学试卷（解析版）

上海市曹杨中学等四校联考2015-2016学年高一（上）期中数学试卷（解析版）

‎2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎1．不等式|x+3|＞1的解集是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．已知A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，则Z+∩A的真子集的个数是 　　　　　　个．‎ ‎　‎ ‎3．如果集合P={（x，y）|y=x2，x∈R}，集合Q={（x，y）|y=﹣x2+2，x∈R}，则P∩Q=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．函数的定义域为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题是　　　　　　命题（填“真”或“假”）‎ ‎　‎ ‎6．若x、y＞0，且，则x+2y的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，则不等式ax＜b的解为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．有四个命题：（1）若a＞b，则ac2＞bc2；（2）若a＜b＜0，则a2＜b2；（3）若，则a＜1；（4）1＜a＜2且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中真命题的序号是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁uB∪∁uC）‎ ‎　‎ ‎11．已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、选择题：（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎14．有四组函数①f（x）=1与g（x）=x0；②与g（x）=x；③f（x）=x与；④f（x）=x与其中是同一函数的组数（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎　‎ ‎15．命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，则x2＜1‎ C．若x≤﹣1或x＞1，则x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1‎ ‎　‎ ‎16．设关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：（共5小题，共56分）‎ ‎17．已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎18．已知集合．‎ ‎（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎19．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？‎ ‎（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ ‎　‎ ‎20．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．‎ ‎（1）求出集合M，N；‎ ‎（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；‎ ‎（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．‎ ‎　‎ ‎21．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．‎ ‎（1）若4比x2﹣3x接近0，求x的取值范围；‎ ‎（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；‎ ‎（3）若对于任意的非零实数x，实数a比接近﹣1，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎1．不等式|x+3|＞1的解集是　（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】直接转化绝对值不等式，求解即可．‎ ‎【解答】解：不等式|x+3|＞1等价于x+3＞1或x+3＜﹣1，‎ 解得x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．已知A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，则Z+∩A的真子集的个数是 　7　个．‎ ‎【考点】子集与真子集．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】先根据集合A中的范围及x属于整数，得到集合A中的元素，然后确定出Z+∩A中的元素，求出Z+∩A的真子集的个数即可．‎ ‎【解答】解：由集合A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，得到集合A={﹣1，0，1，2，3}，‎ 所以Z+∩A={1，2，3}，‎ 则Z+∩A的真子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅共7个．‎ 故答案为：7‎ ‎【点评】此题考查了交集的求法，会根据集合中元素的个数求出集合的真子集，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎3．如果集合P={（x，y）|y=x2，x∈R}，集合Q={（x，y）|y=﹣x2+2，x∈R}，则P∩Q=　{（1，1），（﹣1，1）}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】联立方程组求解交点坐标即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，解得y=1，x=±1，‎ 集合P={（x，y）|y=x2，x∈R}，集合Q={（x，y）|y=﹣x2+2，x∈R}，‎ 则P∩Q={（1，1），（﹣1，1）}．‎ 故答案为：{（1，1），（﹣1，1）}．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集的求法，方程组的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．函数的定义域为　[0，2）∪（2，3]　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案．‎ ‎【解答】解：由，解得0≤x≤3，且x≠2．‎ ‎∴函数的定义域为[0，2）∪（2，3]．‎ 故答案为：[0，2）∪（2，3]．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题是　假　命题（填“真”或“假”）‎ ‎【考点】四种命题的真假关系；四种命题间的逆否关系．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，写出它的否命题判断即可．‎ ‎【解答】解：命题“若a＞1，且b＞1，则a+b＞2的否命题是：‎ ‎“若a≤1，或b≤1，则a+b≤2”，是假命题．‎ 故答案为：假．‎ ‎【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应熟记四种命题之间的关系是什么，是容易题．‎ ‎　‎ ‎6．若x、y＞0，且，则x+2y的最小值为　9　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意可得x+2y=（x+2y）（+）=5++，利用基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵x、y＞0，且，‎ ‎∴x+2y=（x+2y）（+）‎ ‎=5++≥5+2=9，‎ 当且仅当=即x=y=3时取等号．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，则不等式ax＜b的解为　{x|x＜﹣1}　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意可得 a＞b， =，求得=﹣1，a＞0，从而求得不等式ax＜b 的解集．‎ ‎【解答】解：由于不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，∴a＞b， =，‎ 求得=﹣1，a＞0，故不等式ax＜b，即 x＜=﹣1，即 x＜﹣1，‎ 故答案为：{x|x＜﹣1}．‎ ‎【点评】本题主要考查一次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．有四个命题：（1）若a＞b，则ac2＞bc2；（2）若a＜b＜0，则a2＜b2；（3）若，则a＜1；（4）1＜a＜2且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中真命题的序号是　（4）　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：（1）若a＞b，则ac2＞bc2，不正确，c=0时不成立；‎ ‎（2）若a＜b＜0，则a2＞b2，因此不正确；‎ ‎（3）若，则0＜a＜1，因此不正确；‎ ‎（4）∵0＜b＜3，∴﹣3＜﹣b＜0，又1＜a＜2，∴﹣2＜a﹣b＜2，正确．‎ 故答案为：（4）．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为　　．‎ ‎【考点】根据实际问题选择函数类型．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】通过杯子底面内半径可知杯子底面表面积为πr2cm2、周长为2πrcm，进而可知杯子的深度、r的取值范围，进而利用圆柱的体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：依题意，杯子底面表面积为πr2cm2，周长为2πrcm，‎ 则杯子的深度为： cm，‎ ‎∵＞0，‎ ‎∴0＜r＜，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁uB∪∁uC）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】根据图象确定集合关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由已知中的韦恩图，可得：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁uB∪∁uC）‎ 表示的区域如下图中阴影部分所示：‎ ‎【点评】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，分析集合运算结果中，元素所满足的性质，是解答本题的关键．但要注意运算的次序，以免产生错误．‎ ‎　‎ ‎11．已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】法一：利用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|（当且仅当a与b同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让a大于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a的取值范围．‎ 法二：由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x+3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，故范围可求出，由题意a大于|x﹣4|+|x+3|的最小值即可．‎ ‎【解答】解：法一：∵|x﹣4|+|x+3|≥|x﹣4﹣3﹣x|=7，‎ ‎∴|x﹣4|+|x+3|的最小值为7，‎ 又不等式|x﹣4|+|x+3|≤a的解集不是空集，‎ ‎∴a＞7．‎ 法二：由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x+3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，‎ 故|x﹣4|+|x+3|≥7，‎ 由题意，不等式|x﹣4|+|x+3|＜a在实数集上的解不为空集，‎ 只要a＞（|x﹣4|+|x+3|）min即可，‎ 即a＞7，‎ 故答案为：（1，+∞）‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．‎ ‎　‎ ‎12．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是　[2，4）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由条件求得求得＜[x]＜，再根据[x]的定义，可得x的范围．‎ ‎【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，‎ 故答案为：[2，4）．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，[x]的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、选择题：（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；‎ 若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．‎ 则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．‎ ‎　‎ ‎14．有四组函数①f（x）=1与g（x）=x0；②与g（x）=x；③f（x）=x与；④f（x）=x与其中是同一函数的组数（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】判断两个函数是否为同一函数．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由函数的三要素，逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：选项①f（x）=1定义域为R，g（x）=x0定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；‎ 选项②=x，与g（x）=x为同一函数；‎ 选项③f（x）=x定义域为R，定义域为[0，+∞），故不是同一函数；‎ 选项④f（x）=x，二=|x|，故不是同一函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查同一函数的判断，考查函数的三要素，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是（　　）‎ A．若x2≥1，则x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，则x2＜1‎ C．若x≤﹣1或x＞1，则x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是：若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．设关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由已知中关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4∉S，将3，4分别代入可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式的解集为S，‎ 若3∈S，则，解得a∈（﹣∞，）∪（9，+∞）‎ 若4∉S，则16﹣a=0，或，解得a∈[，16]‎ ‎∵[（﹣∞，）∪（9，+∞）]∪[，16]=‎ 故实数a的取值范围为 故选C ‎【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，元素与集合关系的判定，其中根据已知条件构造关于a的不等式是解答本题的关键，本题易忽略4∉S时，包括4使分母为0的情况，而错解为 ‎　‎ 三、解答题：（共5小题，共56分）‎ ‎17．已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】由A，B，C，以及A∩B≠∅，A∩C=∅，确定出m的值即可．‎ ‎【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，‎ 解得：x=2或x=3，即B={2，3}，‎ ‎∵A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，C={2，﹣4}，且A∩B≠∅，A∩C=∅，‎ ‎∴将x=3代入集合A中方程得：m2﹣2m﹣10=0，即（m﹣5）（m+2）=0，‎ 解得：m=5或m=﹣2，‎ 当m=5时，A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，不合题意，舍去；‎ 当m=﹣2时，A={x|x2+2x﹣15=0}={3，﹣5}，满足题意，‎ 则m的值为﹣2．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．已知集合．‎ ‎（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的范围表示出B，‎ ‎（1）根据B为A的子集，确定出a的范围即可；‎ ‎（2）根据两集合的交集为空集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x﹣4）＜0，‎ 解得：﹣2＜x＜4，即A=（﹣2，4），‎ 由B中不等式变形得：（x﹣a）（x﹣2a）＜0，‎ 当a＞2a，即a＜0时，解得：2a＜x＜a，此时B=（2a，a）；‎ 当a＜2a，即a＞0时，解得：a＜x＜2a，此时B=（a，2a），‎ 当a=2a，即a=0时，B=∅，‎ ‎（1）∵B⊆A，B=（2a，a），A=（﹣2，4），‎ ‎∴，且a＜0，即﹣1≤a＜0；‎ ‎∵B⊆A，B=（a，2a），A=（﹣2，4），‎ ‎∴，且a＞0，即0＜a≤2，‎ 当B=∅，即a=0时，满足题意，‎ 综上，a的范围为﹣1≤a≤2；‎ ‎（2）A∩B=∅，‎ 当B=∅时，a=2a，即a=0；‎ 当B≠∅时，B=（2a，a），A=（﹣2，4），‎ 可得a≤﹣2或a≥4（舍去）；‎ B=（a，2a），A=（﹣2，4），可得2a≤﹣2或a≥4，‎ 解得：a≤﹣1（舍去）或a≥4，‎ 综上，a的范围为：a≥4或a≤﹣2或a=0．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？‎ ‎（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ ‎【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】应用题；压轴题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；‎ ‎（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，‎ 未租出的车辆数为，‎ 所以这时租出了88辆车．‎ ‎（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，‎ 则租赁公司的月收益为，‎ 整理得．‎ 所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，‎ 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．‎ ‎【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．‎ ‎　‎ ‎20．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．‎ ‎（1）求出集合M，N；‎ ‎（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；‎ ‎（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．‎ ‎【考点】子集与交集、并集运算的转换．‎ ‎【专题】计算题；集合．‎ ‎【分析】（1）利用不等式的解法，求出集合M，N；‎ ‎（2）M△N中的元素都在M中但不在N中；‎ ‎（3）P={x|||≥}=（2.5，3.5]，按（2）的运算，即可求出（N△M）△P．‎ ‎【解答】解：（1）M={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，N={x||x﹣3|≤1}={x|2≤x≤4}．‎ ‎（2）M△N中的元素都在M中但不在N中，‎ ‎∴定义M△N={x|x∈M且x∉N}．‎ ‎（2）P={x|||≥}=（2.5，3.5]，‎ ‎∵N△M={x|2≤x≤3}，‎ ‎∴（N△M）△P={x|2≤x≤2.5}．‎ ‎【点评】本题考查集合的运算，考查学生解不等式的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．‎ ‎（1）若4比x2﹣3x接近0，求x的取值范围；‎ ‎（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；‎ ‎（3）若对于任意的非零实数x，实数a比接近﹣1，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）由题意得：|x2﹣3x|＞4，则x2﹣3x＞4或x2﹣3x＜﹣4，由此求得x的范围．‎ ‎（2）根据，且，化简|﹣|﹣|a+b﹣2|的结果大于零，可得a+b比接近．‎ ‎（3）由题意对于x∈R，x≠0恒成立，分类讨论求得|x++1|的最小值，可得|a+1|的范围，从而求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：|x2﹣3x|＞4，则x2﹣3x＞4或x2﹣3x＜﹣4，‎ 由x2﹣3x＞4，求得x＞4或x＜﹣1；由x2﹣3x＜﹣4，求得x无解．‎ 所以x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．‎ ‎（2）因为a，b＞0且a≠b，所以，且，‎ 所以 ‎=，‎ 则，‎ 即a+b比接近．　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（3）由题意：对于x∈R，x≠0恒成立，‎ 当x＞0时，，当x=2时等号成立，‎ 当x＜0时，则﹣x＞0，，当x=﹣2时等号成立，所以，则，‎ 综上．‎ 故由|a+1|＜3，求得﹣4＜a＜2，即a取值范围为（﹣4，2）．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎