数学文卷·2019届安徽省蚌埠一中高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届安徽省蚌埠一中高二上学期期中考试（2017-11）

蚌埠一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学（文）‎ 考试时间：120分钟试卷分值：150分命题人：西雪侠 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.直线x+2y+6=0在y 轴上的截距分别是（　　） A. 6       B. -6       C. 3       D. -3‎ ‎2.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（　　） A. 30°    B. 60°    C. 90°    D. 45°‎ ‎3.已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A. （-1，1）               B. （-∞，-1）∪（1，+∞） C. [-1，1]                D. （-∞，-1]∪[1，+∞）‎ ‎4.已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　） A.     B.     C.     D.‎ ‎5.光线从点A（-2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（　　） A.     B.     C.     D.‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（　　） A.     B.     C.     D.‎ ‎7.已知直线l过点P（3，4）且与点A（-2，2），B（4，-2）等距离，则直线l的方程为（　　） A. 2x+3y-18=0               B. 2x-y-2=0 C. 3x-2y+18=0或x+2y+2=0          D. 2x+3y-18=0或2x-y-2=0‎ ‎8.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（　　） A. 10cm                 B.cm C. 5cm              D. 5cm ‎9.设直线x-y-a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（　　） A.     B.     C. ±3   D. ±9‎ ‎10.已知直线a，b和平面α，下列四个说法 ①a∥α，b⊂α，则a∥b；②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行； ③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④a∥α，b∥α，则a∥b． 其中说法正确的是（　　） A. ①②      B. ②③      C. ③④      D. ①④‎ ‎11.在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1，PB=PC=2，若三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（　　） A. 9π      B. 16π      C. 25π      D. 36π ‎12.由直线y=x+1上一点向圆（x-3）2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（　　） A. 1       B.     C. 2    D. 3‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ______ ．‎ ‎14.直线y=kx与圆（x-2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是 ______ ．‎ ‎15.已知圆C：x2+y2+Dx-6y+1=0的周长被直线x-y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= ______ ．‎ ‎16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A-OEF中，下列说法不正确的序号是 ______ ． ①AO⊥平面EOF ②AH⊥平面EOF ③AO⊥EF ④AF⊥OE ⑤平面AOE⊥平面AOF．‎ 三、解答题(本大题共5小题，共70.0分)‎ ‎17.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求： （1）若l1⊥l2，求m的值；  ‎ ‎（2）若l1∥l2，求m的值． ‎ ‎ ‎ ‎18.直线l经过两点（2，1），（6，3）． （1）求直线l的方程； （2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程． ‎ ‎ ‎ ‎19.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点． （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1-AEF的体积． ‎ ‎ 20.已知圆C：x2+y2-4x-6y+9=0及直线l：2mx-3my+x-y-1=0（m∈R） （1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程． ‎ ‎21.底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）． （1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数； （2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． ‎ 蚌埠一中2016-2017学年度第一学期期中考试 高二数学（文史）‎ 满分150：考试时间：120分钟；命题人：西雪侠 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.直线x+2y+6=0在y 轴上的截距分别是（　　） A. 6       B. -6       C. 3       D. -3 【答案】 D 【解析】‎ ‎ 解：对于直线x+2y+6=0，令x=0，解得y=-3， ∴在y 轴上的截距为-3． 故选：D． 对于直线x+2y+6=0，令x=0，解得y，即可得出． 本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎2.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为（　　） A. 30°    B. 60°    C. 90°    D. 45° 【答案】 B 【解析】 解：如图所示， 连接AD′，CD′． 由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′． ∴∠D′AC是异面直线AC与直线BC′所成的角． 由BC′=AD′=CD′， ∴△AD′C是等边三角形． ∴∠D′AC=60°． 故选：B． 连接AD′，CD′．由正方体可得：BC′=AD′=CD′，BC′∥AD′．可得∠D′AC是异面直线AC与直线BC′所成的角．求出即可． 本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角、等边三角形的性质，属于基础题． ‎ ‎3.已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A. （-1，1）               B. （-∞，-1）∪（1，+∞） C. [-1，1]                D. （-∞，-1]∪[1，+∞） 【答案】 D 【解析】 解：∵点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点， ∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA， ∵PA的斜率为=-1，PB的斜率为=1， ∴直线l的斜率k≥1或k≤-1， 故选：D 根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．‎ ‎ 本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础． ‎ ‎4.已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　） A.     B.     C.     D. 【答案】 A 【解析】 解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆， 所以圆锥的底面周长为：2π， 圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：； 圆锥的体积为：π×12×=． 故选A． 通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面母线，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型． ‎ ‎5.光线从点A（-2，）射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，2），则光线BC所在直线的倾斜角为（　　） A.     B.     C.     D. 【答案】 B 【解析】 解：点A关于x轴的对称点为A′（-2，-）， A′在直线BC上， ∴直线BC的斜率是 kBC===； ∴直线BC的倾斜角是． 故选：B． 求出点A关于x轴的对称点为A′（-2，-），A′在直线BC上，由此得出BC的斜率，从而求出倾斜角． 本题考查了轴对称问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题． ‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（　　） ‎ ‎ A.     B.     C.     D. 【答案】 B 【解析】 解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h， 所以四棱锥的体积为：，所以h=． 故选B． 三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可． 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力． ‎ ‎7.已知直线l过点P（3，4）且与点A（-2，2），B（4，-2）等距离，则直线l的方程为（　　） A. 2x+3y-18=0               B. 2x-y-2=0 C. 3x-2y+18=0或x+2y+2=0          D. 2x+3y-18=0或2x-y-2=0 【答案】 D 【解析】 解：设所求的直线方程为y-4=k（x-3）即kx-y+4-3k=0由已知及点到直线的距离公式可得， ∴|5k-2|=|k+6| ∴5k-2=k+6或5k-2=-k-6∴k=2或k=- ∴所求的直线方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0故选D 设所求的直线方程为y-4=k（x-3）即kx-y+4-3k=0，由已知及点到直线的距离公式可建立关于k的方程，求解即可 考查学生掌握点到直线的距离公式，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程． ‎ ‎8.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为（　　） A. 10cm                 B.cm ‎ C. 5cm              D. 5cm 【答案】 B 【解析】 解：如图， ∵圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形，展开后为矩形ABA′B′， BC为圆柱底面圆的周长的一半，等于， AB=5， ∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为==． 故选：B 把圆柱沿着一条母线剪开后展开，然后利用直角三角形中的勾股定理求解从A到C的最短距离． 本题考查了旋转体中的最短距离问题，关键在于对旋转体的剪展，是基础题． ‎ ‎9.设直线x-y-a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（　　） A.     B.     C. ±3   D. ±9 【答案】 B 【解析】 解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=2， 由△AOB为等边三角形，得圆心到直线x-y-a=0的距离d==， 解得：a=±． 故选B． 由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r，利用△AOB为等边三角形，点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中由△AOB为等边三角形，得圆心到直线x-y-a=0的距离d==是解本题的关键． ‎ ‎10.已知直线a，b和平面α，下列四个说法 ①a∥α，b⊂α，则a∥b；②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行； ③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④a∥α，b∥α，则a∥b． 其中说法正确的是（　　） A. ①②      B. ②③      C. ③④      D. ①④ 【答案】 B 【解析】 解：对于①，a∥α，b⊂α，a，b之间的位置关系可以是平行与异面，故本说法不对； 对于②，a∩α=P，b⊂α，则a，b之间的位置关系可以是相交与异面，一定不平行，故本说法正确； 对于③，若a∥b，b⊥α，可以得出a⊥α，故本说法正确； 对于④，由a∥α，b∥α，则a，b之间的位置关系可以是相交，平行，异面，不一定平行，故本说法不正确． 综上②③正确 故选B 本题中的四个说法是三个涉及线线之间的平行关系，一个涉及到线面之间的垂直关系，故可以用相关的定理与性质逐一判断其正误． 本题考点是平面的基本性质及推论，考查综合利用平面的定理与性质判断平面中线线之间的位置关系与线面之间的位置关系，属于知识的灵活运用题． ‎ ‎11.在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1，PB=PC=2，若三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（　　） A. 9π      B. 16π      C. 25π      D. 36π 【答案】 A 【解析】 解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球． ∵长方体的对角线长为=3， ∴球直径为3，半径R=， 因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=9π 故选：A． 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的表面积 ‎ 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题． ‎ ‎12.由直线y=x+1上一点向圆（x-3）2+y2=1 引切线，则该点到切点的最小距离为（　　） A. 1       B.     C. 2    D. 3 【答案】 B 【解析】 解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 圆心到直线的距离为：=2． 切线长的最小值为：=， 故选B． 从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题． ‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ______ ． 【答案】 8cm 【解析】 解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm， 所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm， 故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm， 故答案为：8cm ‎ 如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长． 本题考查斜二测直观图，熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键． ‎ ‎14.直线y=kx与圆（x-2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 解：由题意得，圆心坐标（2，-1）、半径r=2， 则圆心到直线y=kx的距离d=＜2，解得k＜， ∵所截得的弦|AB|≥2，∴2=2， 化简得，3k2+4k≤0，解得， 综上可得，k的取值范围是， 故答案为：． 由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离，由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围，结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围． 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题． ‎ ‎15.已知圆C：x2+y2+Dx-6y+1=0的周长被直线x-y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= ______ ． 【答案】 11或-29 【解析】 解：∵圆C：x2+y2+Dx-6y+1=0的周长被直线x-y+4=0平分， ∴圆心C（-，3）在直线x-y+4=0上， 即--3+4=0，解得D=2， 则圆C：x2+y2+2x-6y+1=0，即圆C：（x+1）2+（y-3）2=9，圆心（-1，3），半径r=3， 若圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1， 则圆心C到直线3x+4y+c=0的距离d=1+3=4， 即 ‎， 即|9+c|=20， 解得c=11或c=-29． 故答案为：11或-29圆的周长被直线平分，则直线过圆心，求出D的值，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论． 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键． ‎ ‎16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A-OEF中，下列说法不正确的序号是 ______ ． ①AO⊥平面EOF ②AH⊥平面EOF ③AO⊥EF ④AF⊥OE ⑤平面AOE⊥平面AOF． 【答案】 ② 【解析】 解：∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF=O， ∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误； ∵EF⊂平面EOF， ∴AO⊥EF，故③正确； 同理可得：OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确； 又OE⊂平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确； 故答案为：②． 根据OA，OE，OF两两垂直即可判断得出结论． 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，属于中档题． ‎ 三、解答题(本大题共5小题，共70.0分)‎ ‎17.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求： （1）若l1⊥l2，求m的值；    （2）若l1∥l2，求m的值． 【答案】 解：（1）由两直线垂直的充要条件可得：1•（m-2）+m•3=0，解得， 故当l1⊥l2时，m=‎ ‎； （2）由平行的条件可得：， 由解得：m=-1或m=3； 而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=-1． 【解析】 （1）由两直线垂直的充要条件可得：1•（m-2）+m•3=0，解之即可；（2）由平行的条件可得：，解后注意验证． 本题考查直线平行垂直的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题． ‎ ‎18.直线l经过两点（2，1），（6，3）． （1）求直线l的方程； （2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程． 【答案】 解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，（2分） ∴所求直线的方程为y-1=（x-2）， 即直线l的方程为x-2y=0．（5分） （2）由（1）知， ∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分） ∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上， ∴a=1，（9分） ∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，（11分） ∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=1．（12分） 【解析】 （1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程； （2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程． 本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用． ‎ ‎19.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点． （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1-AEF的体积．‎ ‎ 【答案】 解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC， ∴AE⊥BB1， ∵E是正三角形ABC的边BC的中点， ∴AE⊥BC， 又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B， ∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF， ∴平面AEF⊥平面B1BCC1． （II）∵三棱柱所有的棱长均为2， ∴AE=， ∴S=2×2--=， 由（I）知AE⊥平面B1BCC1 ∴． 【解析】 （I）由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1； （II）由（1）知AE为棱锥A-B1EF的高．于是V=V=． 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题． ‎ ‎20.已知圆C：x2+y2-4x-6y+9=0及直线l：2mx-3my+x-y-1=0（m∈R） （1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程． 【答案】 解：由x2+y2-4x-6y+9=0得（x-2）2+（y-3）2=4∴圆C的圆心为（2，3），半径为2…（2分） （1）证明：由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0． 由得， ∴不论m取何值，直线l恒过点P（3，2）…．（4分） ∵32+22-12-12+9=-2＜0， ∴点P（3，2）在圆C内 所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交…．（6分）‎ ‎ （2）当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短， ∵kCP=-1， 所以所求的直线方程为y=x-1…．（12分） 【解析】 （1）由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0，所以直线l总过定点P（3，2），判断点P（3，23）在圆内，即可证明结论； （2）当直线l过定点P（3，2）且垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短． 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． ‎ ‎21.底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）． （1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数； （2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． 【答案】 解：（1）根据相似性可得：，…（3分） 解得：h=6-2x（0＜x＜3）…（6分） （2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh =2x2+4x（6-2x）=-6（x-2）2+48…（9分） 因为0＜x＜3，所以当x=2时，ymax=48…（11分） 故当正四棱柱的底面边长为2时，正四棱柱的表面积最大值为48…（12分） 【解析】 （1）根据相似性可得将棱柱的高h表示成x的函数； （2）利用配方法，即可求出当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． 本题考查圆锥有一个内接的正四棱柱问题，考查正四棱柱的表面积最大值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． ‎