数学文卷·2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考（2017

数学文卷·2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考（2017

中原名校2017-2018学年第五次质量考评 高三数学（文）试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数z满足z(3-i)=1-2i，则复数z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 的值为 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知向量，且，则 A. 1 B. 5 ‎ C. -1 D. -5‎ ‎5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形网格中粗线画出的是某“堑堵”‎ 的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎6. 下图为2017年3〜11月某市接待游客人数及与上年同期相比增速图，根据该图给出下列结论：①2017年11月该市共接待旅客35万人次，同比下降了3.1%；②整体看来，该市2017年3〜11月接待游客数量与上年同期相比都处于下降状态；③2017年10月该市接待游客人数与9月相比的增幅小于2017年5月接待游客人数与4月相比的增幅. 其中正确结论的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎ ‎ ‎7. 已知双曲线的左焦点F在圆上，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 若x，y满足约束条件，则的最大值为 A. 3 B. 7 ‎ C. 9 D. 10‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则判断框内填入的条件可以是 A. ？ B. ？‎ C. ？ D. ？‎ ‎10. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，过点E(4, 0)的直线 与抛物线C交于A，B两点，则的最小值为 A. B. 7 C. D. 9‎ ‎11. 已知函数的图象在区间 上有且只有9个交点，记为，则 A. B. 8 C. D. ‎ ‎12. 已知，若曲线上存在不同两点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则实数a的取值范围是 A. B. (-2, 2) C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为，则的概率是________. ‎ ‎14. 设函数，若，则_________. ‎ ‎15. 已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=2PC=2，是边长为的正三角形，则三棱锥P-ABC的外接球半径为_________. ‎ ‎16. 已知中，，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边BC上，AD=l，且BD=2DC，∠BAD=2∠DAC，则__________. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和为，且满足. ‎ ‎(1)求及；‎ ‎(2)若，求的前2n项的和. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎2017年10月18日上午9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4：1. 将这200人按年龄分组：第1组[15, 25)，第2组[25, 35)，第3组[35, 45)，第4组[45, 55)，第5组[55, 65)，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示. ‎ ‎(1)求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎(2)把年龄在第1，2，3组的观众称为青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人，请完成下面2×2列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 中老年 合计 附：（其中样本容量）. ‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图甲，在四边形ABCD中，，△ABC是边长为4的正三角形，把△ABC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC丄平面ACD，如图乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点.‎ ‎(1)求证：AD丄平面PON； ‎ ‎(2)求三棱锥M-ANO的体积. 图甲 图乙 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为G，直线FG与直线垂直，椭圆E经过点. ‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)过点F作椭圆E的两条互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中点分别为M，NM，‎ 证明：直线MN恒过定点. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知. ‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)若存在及唯一正整数，使得，求a的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. ‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4-4: 坐标系与参数方程】‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎. ‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线与曲线C交于点0，A，与直线交于点B，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知函数. ‎ ‎(1)若，解不等式；‎ ‎(2)若对任意x∈R，恒有，求实数a的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中原名校2017-2018学年第五次质量考评 高三数学（文）参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D A B C C C C D C D A ‎1. B【解析】因为，所以 ‎，故选B.‎ ‎2. D【解析】因为z(3-i)=1-2i，所以，所以复数z 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.‎ ‎3. A【解析】‎ ‎，故选 A.‎ ‎4. B【解析】由可得，‎ 所以所以，故选B.‎ ‎5. C【解析】由题意知，该“堑堵”的正视图是三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长为4，则其面积为4，故选C.‎ ‎6. C【解析】①正确，②正确，2017年10月该市接待游客人数与9月相比的增幅为 ‎，2017年5月该市接待游客人数与4月相比的增幅为 ‎，③错，故选C.‎ ‎7. C【解析】设，将代入中得，‎ ‎，解得c=3，所以，所以双曲线C的离心率，故选C.‎ ‎8. C【解析】根据题意画出可行域如图所示（图中阴影部分），由可行域可知，，所以，‎ 所以，设，‎ 当直线过点A(1, 2)时，z取得最大值，为9，故选C. ‎ ‎ ‎ ‎9. D【解析】对于选项A，由sin1>0，sin2>0，sin3>0，sin4<0，可知输出的n的值为4；对于选项B，由cos1>0，cos2<0可知，输出的n的值为2；对于选项C，由，‎ ‎，可知输出的n的值为3；对于选项D，由，可知输出的n的值为5，故选D.‎ ‎10. C【解析】由抛物线C的焦点F到其准线的距离为2，得p=2，设直线的方程为 ‎，与联立得，‎ 设，则，所以 ‎（当且仅当，即 时，取等号），故选C.‎ ‎11. D【解析】由，可知的图象关于点对称，‎ 由，可得，‎ 所以的图象关于点对称，‎ 所以，故选D. ‎ ‎12. A【解析】由，得，由可得，设，则两切线斜率分别为，，由且，可得 ‎，解得，故选A.‎ ‎13. 【解析】从1，3，5，7，9中任取3个不同的数字分别作为，所 有可能的结果有(1, 3, 5)，(1, 3, 7)，(1, 3, 9)，(1, 5, 7)，(1, 5, 9)，(1, 7, 9)，(3, 5, 7)，(3, 5, 9)，(3, 7, 9)，(5, 7，9)，共 10种，满足的结果有 ‎(3, 5, 7)，(3, 7, 9)，(5, 7, 9)，共3种，所以所求概率. ‎ ‎14. -3或-2【解析】因为，‎ 所以或 或，所以或. ‎ ‎15. 【解析】由题意可得PC⊥平面ABC，以PC为一条侧棱，△ABC为底面把三棱锥 P-ABC补成一个直三棱柱，则该直三棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心，因为底面外接圆的半r=1，所以三棱锥 P-ABC的外接球半径. ‎ ‎16. 【解析】由及∠BAD=2∠DAC，可得，‎ 由BD=2DC，令DC=x，则BD=2x，因为AD=1，在△ADC中，由正弦定理得，‎ 所以，在△ABD中，所以. ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由得，，即，‎ 所以. （2分）‎ 又，所以以2为首项，2为公差的等差数列.‎ 所以，故. （4分）‎ 所以当时，，‎ 所以. （5分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以， （9分）‎ ‎，‎ 所以. （12分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可得：10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l，‎ 解得 a=0.035， （3分）‎ 所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：‎ ‎20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5 （6分）‎ ‎（2）由题意得2×2列联表: ‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年 ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎（8分）‎ 计算得的观测值为，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. （12分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）因为△APC为正三角形，O为AC的中点，所以P0丄AC，‎ 因为平面PAC丄平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，所以PO丄平面ACD，‎ 因为AD平面ACD，所以PO丄AD， （3分）‎ 因为，AC=4，所以，所以AD丄CD，‎ 因为O，N分别为棱AC，AD的中点，所以ON//CD，所以ON丄AD，‎ 因为PO∩ON=O，所以AD丄平面PON. （6分）‎ ‎（2）由AD丄CD，，，‎ 可得，‎ 而点O，N分别是棱AC，AD的中点，所以， （9分）‎ 由△ACP是边长为4的等边三角形，可得, ‎ 即点P到平面ACD的距离为，‎ 又M为PA的中点，所以点M到平面ANO的距离为，‎ 故. （12分）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）因为直线FG与直线垂直，所以（O为坐标原点），即，所以， （2分）‎ 因为点在椭圆E上，所以，‎ 由，解得，‎ 所以椭圆E的标准方程为. （4分）‎ ‎（2）当直线AB，CD的斜率都存在时，‎ 设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，‎ 由 可得，‎ 设，则. （6 分）‎ 由中点坐标公式得，‎ 同理可得， （8分）‎ 所以直线MN的方程为. ‎ 令y=0，得，所以直线MN经过定点. （11分）‎ 当直线AB或CD的斜率不存在时，易知直线MN为x轴，也经过定点.‎ 综上所述，直线MN经过定点. （12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 由，可知是增函数，又，（2分）‎ 所以x∈(0, 1)时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ 所以的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是. （5分）‎ ‎（2）因为，所以由（1）知，在上的值域为，‎ 存在及唯一正整数，使得，‎ 即满足的正整数解只有1个，（8分）‎ 因为，所以，‎ 所以在(0, 1)上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，即，解得. ‎ 所以a的取值范围是. （12分）‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程 ‎【解析】（1）曲线C的参数方程为 （为参数），消去参数得曲线C的普通方程为，即，‎ 由得曲线C的极坐标方程为，‎ 即. （5分）‎ ‎（2）设，则，‎ 所以 ‎， （8分）‎ 由，得，所以，‎ 所以的取值范围是. （10分）‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 ‎【解析】（1）因为，所以当时，‎ 或， （2分）‎ 时，，‎ 所以的解集为. （5分）‎ ‎（2）对任意，恒有，则有最小值，‎ 因为，‎ 所以，即时，有最小值， （8分)‎ 由，得，‎ 所以实数的取值范围是. （10分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎