2018-2019学年山西省太原市高二上学期期中考试数学试题 解析版

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山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．‎ ‎【详解】‎ 在空间直角坐标系Oxyz中，‎ 点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．‎ ‎2．由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用旋转体的定义、性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；‎ 在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；‎ 在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；‎ 在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3．已知，则直线AB的倾斜角为（　　）‎ A．0° B．90° C．180° D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，‎ ‎∴直线AB的斜率不存在，‎ ‎∴直线AB的倾斜角90°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎4．下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．‎ ‎【详解】‎ 根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；‎ D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF 平行，不可能；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．‎ ‎5．已知点在直线上，若，则直线的斜率为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，求出直线l1：2x﹣y﹣1＝0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，‎ ‎∴2×2+3a﹣1＝0，‎ 解得a＝﹣1，‎ ‎∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，‎ ‎∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（　　）‎ A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．‎ ‎【详解】‎ 由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：‎ 在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；‎ 在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；‎ 在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；‎ 在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎7．已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．‎ ‎【详解】‎ 圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），‎ 故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，‎ 故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．‎ ‎8．一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．‎ ‎【详解】‎ 长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，‎ 由题意，体对角线长为：，‎ 外接球的半径R＝，‎ ‎＝17π，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎9．已知满足不等式组 ，则的最大值为（　　）‎ A．12 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出x，y满足不等式组对应的平面区域，‎ 由z＝5x+2y，得y＝x+z，‎ 平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z，经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，得A（2，3），‎ 此时z的最大值为z＝5×2+2×3＝16，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎10．直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误；‎ 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A和C都错误；‎ 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，‎ 直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故A，B，C和D都错误．‎ 综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎11．如图，在正方体中，平面，垂足为H，给出下面结论：‎ ‎①直线与该正方体各棱所成角相等；‎ ‎②直线与该正方体各面所成角相等；‎ ‎③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形；‎ ‎④垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，‎ 其中正确结论的序号为（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A1ACC1为矩形，可判断③；由垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，可判断④．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，‎ 连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，‎ 直线A1H与直线A1C重合，‎ 直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；‎ 直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；‎ 过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；‎ 垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，‎ 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．‎ ‎12．一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据光学性质，点P（﹣2，4）关于直线x﹣y+2＝0对称的点在反射线所在直线上，设出所求直线方程，然后用点到直线的距离等于半径，求出斜率，舍去正值即可．‎ ‎【详解】‎ 点P（﹣2，4）关于直线x﹣y+2＝0的对称点为Q（2，0），‎ 设反射光线所在直线方程为：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，‎ 依题意得：,‎ 依题意舍去k＝‎ 故反射线所在直线方程为：x+y﹣2＝0，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知点，则线段AB的中点坐标是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中点坐标公式求解．‎ ‎【详解】‎ 设A、B的中点为P（x0，y0），‎ 由A（3，﹣3）、B（0，2），‎ 再由中点坐标公式得： ，.‎ ‎∴线段AB的中点坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了中点坐标公式，是基础题．‎ ‎14．已知直线．若，则实数m＝_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线与直线垂直的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l1：x﹣2y＝1，l2：mx+（3﹣m）y+1．l1⊥l2，‎ ‎∴1×m+﹣2×（3﹣m）＝0，‎ 解得m＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则_____．‎ ‎【答案】34‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，然后利用勾股定理转化求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，‎ 底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形．‎ 则x2+y2＝x2+PA2+AD2＝（PA2+AB2）+AD2＝52+32＝34．‎ 故答案为：34．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎16．中，，，，M为AB中点，将 沿CM折叠，当平面平面AMC时，A，B两点之间的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1，AO＝，BO＝，AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．‎ ‎【详解】‎ 取MC中点O，连结AO，BO，‎ ‎∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2，M为AB中点，‎ ‎∴AC＝BM＝AM＝CM＝1，‎ ‎∴AO＝,‎ BO＝ ‎ AO⊥MC，‎ 将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，‎ AO⊥平面BMC，∴AO⊥BO，‎ ‎∴A，B两点之间的距离|AB|＝,‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知的三个顶点的坐标是．‎ ‎（1）求BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接由两点式直线方程公式求解即可；（2）求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知，直线BC过，方程为，化简得，‎ 直线BC方程为.‎ ‎（2）由题可知，到直线BC的距离，，的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎18．已知正方体．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1∥C1B，由此能证明AD1∥平面C1BD;（2）推导出A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，CD⊥AD1，由此能证明AD1⊥平面A1DC．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在正方体中，又，‎ ‎（2）在正方体中，又，，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．已知圆C的方程为．‎ ‎（1）设O为坐标原点求直线OC的方程；‎ ‎（2）设直线与圆C交于A，B两点，若 ，求实数t的值．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把圆C的方程化为标准形式，可得C的坐标，从而求得直线OC的方程;（2）求出弦心距，再根据弦心距、弦长、半径之间的关系，求得t的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C方程可化为，圆心为，半径 ，‎ 直线OC过及两点，且，，直线OC的方程为.‎ ‎（2）由题可知直线为，半径为，半弦长，‎ 圆心到直线的距离，.解得或（舍），‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的一般方程和标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，且，垂足为E．‎ ‎（1）求PD与平面ABCD所成角的大小；‎ ‎（2）求三棱锥的休积．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由PA⊥平面ABCD，得∠PDA为PD与平面ABCD所成角，由此能求出PD与平面ABCD所成角的大小;（2）推导出PA⊥AB，AD⊥AB，从而AB⊥平面PAD，由此能求出三棱锥P﹣ABE的体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），即为所求，，.‎ ‎（2）过E做垂足为F，EF为面PAB上的高，‎ ‎，‎ ‎，.，‎ ‎ ，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E为棱PC上不与点C重合的点．‎ ‎（1）求证：平面平而PAC；‎ ‎（2）若 ，且二面角 的平面角为45°，求三棱锥 的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BED⊥平面PAC;（2）设AC与BD交于点F，连结EF，三棱锥P﹣BED的体积VP﹣BDE＝由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 又，，,‎ ‎ .‎ ‎（2）AC与BD交于点O，连接EO，‎ 过E作垂足为F，则即为的平面角，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎22．已知圆，圆 ‎（1）证明圆与圆相交；‎ ‎（2）若圆经过圆与圆的交点以及坐标原点，求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用圆心距与两圆半径的关系证明；（2）设出经过两圆交点的圆系方程，然后代入原点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ 与相交；‎ ‎（2），②-①得，，‎ ‎，解得，，‎ 圆过 为直角三角形，，圆心为AB中点，‎ 圆为 ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的距离和半径的和与差的关系即可.‎ ‎23．已知圆，圆．‎ ‎（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；‎ ‎（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求实数k的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）或。.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，两圆相交，两圆做差得 即公共弦所在直线为：‎ ‎（2）由题可知，设 将代入 得整理得，‎ ‎，由韦达定理得 化简得 ，解得或。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎