数学理卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测（2018

数学理卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测（2018

高 三 教 学 质 量 监 测 数 学（理科） 注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共 150 分，考试时间 120 分 钟． 1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。 2．选择题用 2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上，并将答题卡交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.集合 ， ，则 A． B． C． D．以上都不对 2. 复数 z 满足 z(1﹣i)＝|1+i|，则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 若 是真命题， 是假命题，则 A． 是真命题 B． 是假命题 C． 是真命题 D． 是真命题 4.在 中，若 ，则 A． B． C． D． 5．下列函数为偶函数的是 A． B． C． D． 6.函数 y=sin(2x+ )•cos(x﹣ )+cos(2x+ )•sin( ﹣x)的图象的一条对称轴方 程是 4| 01 xA x x − = < +  { }ln 1B x x= < A B φ= A B A= A B A= p q p q∧ p q∨ p¬ q¬ ABC∆ 15, ,sin4 3b B A π= ∠ = = a = 3 25 3 35 3 3 5 33 siny x= ( )lny x x2= +1 − xy e= lny x2= +1 3 π 6 π 3 π 6 π 2018.01.24 第16题 y xa+1aO ED CB A ED CB A A．x= B．x= C．x=π D．x= 7.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件， 60 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一 个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n= A．9 B．10C．12 D．13 8.设 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 9.已知 F1（﹣3，0）、F2（3，0）是椭圆 的两个焦点，P 是椭圆上 的点，当 时，△F1PF2 的面积最大，则有 A．m=12，n=3 B．m=24，n=6 C．m=6，n= D．m=12，n=6 10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问 题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而 长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 5，2，则输出的 n= A．2 B．3 C．4 D．5 11．在四面体 S﹣ABC 中，SA⊥平面 ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1， 则该四面体的外接球的表面积为 A．11π B． C． D． 12．设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上 4 π 2 π 2 3π ,x y 2 0 2 3 0 0 x y x y x y − − ≤  − + ≥  + ≤ 4 6 y x + + [ 4,1]− 3[ 3, ]7 − ( , 3] [1, )−∞ − + ∞ [ 3,1]− 1 2 =+ 2 n y m x 3 2=∠ 21 πPFF 2 3 ,a b 3 28π 3 10π 3 40π ( )f x D [ , ]a b D⊆ ( )f x [ , ]a b 的值域为 ，则称 为“倍缩函数”．若函数 为“倍缩 函数”，则实数 的取值范围是 A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1] C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞） 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22～第 23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．设向量 ，若向量 与向量 (－3,－3)共线，则 λ=． 14.已知 ，若对任意的 x，都有 ，则 ． 15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的 几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积 （单位：cm2）等于． 16．已知函数 ， ，则 的最小值是． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知在数列 中， ， ， . （1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，证明： . [ , ]2 2 a b ( )f x tnxxf +1=)( t 、a )2,1(= )3,2(=b baλ + =c 3n ≥ 1 2 0 1( 2) ( 1) ( 1) 135 ( 1) ...n n n n nx a x a x x a− −+ = − + − + ⋅ − + + ______n = ( ) ( )sin cos sinf x x x x= + x R∈ )(xf { }na 1 3a = ( ) 11 1n nn a na ++ − = n N ∗∈ { }na na 1 1 n na a +       n nT 6 1 1 1P( x ,y ) O OM MP,ON NP⊥ ⊥ 1 1 2 2 x y( , ) 2 2 2 21 1 1 1 2 2 4 x y x y( x ) ( y ) +− + − = 2 2 1 1 0x y x x y y+ − − = O 2 2 4 3O : x y + = 1 1 4 3x x y y+ = 0y ,= 1 4 3m x = 0x = 1 4 3n y = 1 1 4 4 3 3x ,ym n = = 2 24 43 43 3( ) ( )m n + = 2 2 1 1 3 3 4m n + = 1 1 2 2 3 3P( x ,y ),M( x ,y ),N( x ,y ), 2 2 1 PM OM xk ,k y = − = − 2 2 2 2 xy y ( x x ),y − = − − 2 2 4 3x x y y ,+ = 同理可得直线 PN 的方程为 ---------------⑤------------------10 分 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ∴直线 MN 的方程为 ，------------------------------------------------------11 分 令 得 ，令 得 ， ∴ ，又点 P 在椭圆 E 上， ∴ ，即 =定 值．---------------------------------------------12 分 21. 解：（1）f′（x）= ………..1 分 由题设 f′（1）=1，∴ ，∴a=0．………..3 分 （2） ，∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）， 即 4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）………..4 分 设 g（x）=4lnx﹣m（3x﹣ ﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0， ∴g′（x）= ﹣m（3+ ）= ，g′（1）=4﹣4m ………..6 分 ① 若 m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设 g（x）≤0 矛 盾………..7 分 ② 若 m∈（0，1），当 x∈（1， ），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g （x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9 分 ③ 若 m≥1，当 x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1） 3 3 4 3x x y y ,+ = 1 2 1 2 1 3 1 3 4 3 4 3 x x y y x x y y  + =  + = 1 1 4 3x x y y+ = 0y ,= 1 4 3m x = 0x = 1 4 3n y = 1 1 4 4 3 3x ,ym n = = 2 24 43 43 3( ) ( )m n + = 2 2 1 1 3 3 4m n + = =0，即不等式成立 ………..11 分 综上所述，m≥1．………..12 分 22.解：（1）根据题意，椭圆 C 的方程为 + =1， 则其参数方程为 ，（α 为参数）；………..1 分 直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）=3，变形可得 ρsinθcos +ρcosθsin =3， 即 ρsinθ+ ρcosθ=3，………..3 分,将 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得 x+y﹣6=0， 即直线 l 的普通方程为 x+y﹣6=0；………..5 分 （2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设 M（2cosθ，4sinθ），………..6 分 |2 x+y﹣1|=|4 cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+ ）﹣1|，………..8 分 分析可得，当 sin（θ+ ）=﹣1 时，|2 x+y﹣1|取得最大值 9．…………..10 分 23.解：当 a=2 时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．…..1 分 ①x≥2.5 时，不等式可化为 x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥ ；…………..2 分 ②2≤x＜2.5，不等式可化为 x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；…………..3 分 ④ x＜2，不等式可化为 2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤ ，………………..4 分 综上所述，不等式的解集为（﹣ ] ；………..5 分 （Ⅱ）证明：不等式 f（x）≤4 的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，………..7 分 ∴ = （ ）（2s+t）= （10+ + ）≥6，当且仅当 s= ，t=2 时取等 号．..10 分