河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试题

河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试题

‎ 洛阳一高2019-2020学年第一学期高二年级12月月考数学试卷 ‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 ‎ ‎ ‎ ‎2.平面内有两定点及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么 甲是乙成立的充分不必要条件 甲是乙成立的必要不充分条件 ‎ 甲是乙成立的充要条件 甲是乙成立的非充分非必要条件 ‎3.命题“,”的否定是 ‎, ,‎ ‎, ,‎ ‎4.设，则“”是“”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎5.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ‎6.如果方程表示双曲线，则的取值范围是 ‎7.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是正三角形，则这个椭圆的离心率为 ‎ ‎8.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 ‎ ‎9.焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为 ‎ ‎10.设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于的一点，直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为 ‎ ‎11.已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ‎12. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是 ‎ ‎ 二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若“”是真命题，则实数的最小值为 .‎ ‎14.已知命题：函数是奇函数，：函数为偶函数，则下列四个命题：① ；②；③；④．其中，真命题是________．(填序号) ‎ ‎15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.‎ ‎16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，的最小值为__________.‎ 三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ 命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ 命题：若存在，使得成立．‎ ‎（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的长轴长为，短轴长为．‎ ‎(1)求椭圆方程；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知中，,,．‎ ‎(1)求边的长；‎ ‎(2)设是边上一点，且的面积为，求的正弦值．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于两点，为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若的面积等于,求直线的方程．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数,是数列的前项和，点在曲线上.(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；(3)在(2)的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．‎ 洛阳一高2019-2020学年高二年级12月月考数学参考答案 一．选择题1—5 6—10 11-12 ‎ 二．填空题 13. 14. ①④ 15. 16.‎ 三．解答题 ‎17. 解：(1)命题方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 若命题为真命题，则，即的取值范围是． ……2分 ‎（2）若命题为真命题，则在有解，得.……4分 又“”为假命题，“”为真命题，则两个命题一真一假， ……5分 若真假，则，解得. ……7分 若假真，则,解得. ……9分 综上，实数的取值范围为． ……10分 ‎18. 解：(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，‎ 得，所以， ……2分 所以椭圆方程为． ……4分 ‎(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.‎ 在椭圆上，所以，， ……6分 两式相减可得，‎ 所以的斜率为， ……8分 ‎∴点为中点的弦所在直线方程为. ……10分 由，得，所以或，‎ 所以． ……12分 ‎19.(1)因为，所以，由得 ‎ ．……2分 即，从而， ……4分 又，所以， ，所以.……6分 ‎(2)由已知得，所以． ……8分 在中，由余弦定理得，‎ ‎. ……10分 由正弦定理得，故． ……12分 ‎20. 解：(1)依题意，,，‎ ‎∴双曲线的方程为. ……3分 ‎(2)依题意，设直线的方程为. ……4分 由得. ……6分 设，当时，，……8分 所以 ‎. ……10分 又到直线的距离为，‎ 所以的面积, ……11分 ‎,所以直线的方程为． ……12分 ‎21. (1)因为在曲线上，且，‎ 所以. ……1分 当时，. ……3分 当时,适合上式，所以. ……5分 ‎(2)因为, ① ……6分 所以, ② ……7分 ‎, ③‎ ‎②－③得 ‎ ‎.‎ 整理得. ④ ……9分 所以. ……10分 因为，所以，所以，即，……11分 所以……，所以存在最大值. ……12分 ‎22.解：(1)由题意知，所以，即．……1分 又因为以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，‎ 所以，所以． ……2分 故椭圆的方程为． ……2分 ‎(2)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为． ……3分 由得． ……4分 设点，，则,.……5分 依题意，直线的方程为.‎ 令，得． ……6分 将，代入，整理得 ‎．‎ 所以直线与轴相交于定点． ……7分 ‎(3)当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为．……8分 由得，易知． ……9分 设，则，．‎ 则.……10分 因为，所以,‎ 所以． ……11分 当过点直线的斜率不存在时，其方程为．‎ 解得或,此时．‎ 所以的取值范围是． ……12分