【数学】2019届一轮复习北师大版一题多解学透椭圆学案

【数学】2019届一轮复习北师大版一题多解学透椭圆学案

一、典例分析，融合贯通 ‎ 典例1 （2011广州调研） 已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于 ‎ 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．‎ ‎ (1) 求椭圆的方程；‎ ‎ (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎（2）【解法1】弦长公式法 依题意，圆心为．‎ ‎ 由 得. ‎ ‎∴ 圆的半径为． ‎ ‎∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，‎ ‎∴ ，即． , , ]‎ ‎∴ 弦长． ‎ ‎∴的面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为． ‎ ‎【点睛之笔】弦长公式法，化拙为巧！ ‎ ‎ 在圆的方程中，令，得，[ _ _ ]‎ ‎ ∴ 弦长． ‎ ‎∴的面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎ ∴ 的面积的最大值为． ‎ ‎【点睛之笔】直接求点，顽石可点！‎ ‎【解后反思】‎ 解法一，利用公式，降低计算量！ ‎ 解法二 直接求点，少思多算不失一种好方法！‎ 典例2 (2011佛山二模) 已知椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明 以线段为直径的圆恒过轴上的定点.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，， 而， ‎ 且. 解得， ‎ 所以，椭圆的方程为. ‎ ‎（2）由题可得.设，[ _ _ ]‎ 直线的方程为，‎ 令，则，即； ‎ 直线的方程为， ‎ 令，则，即；[ ]‎ ‎【点睛之笔】向量法，既可定向，又可定量！‎ ‎【解法2】公式法 以线段为直径的圆为 ‎ 令，得， ‎ ‎∴，而，即，‎ ‎∴，或. ‎ 所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. ‎ ‎【点睛之笔】利用公式，不思也能解！‎ ‎【解法3】斜率法 ‎【点睛之笔】斜率法，此法就是“邪”！‎ ‎【解后反思】‎ 解法一 利用向量数量积公式，巧妙转化，化难为易！‎ 解法二 利用公式，直接求解，不费神！‎ 解法三 利用两直线垂直斜率之积为 建立方程求解，通俗易懂！ ‎ 典例3（2012届广州市高三调研）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．‎ ‎（2）【解法1】向量几何法 方法1 设圆的圆心为，‎ 则 ‎ ‎． ‎ 从而求的最大值转化为求的最大值．‎ 因为是椭圆上的任意一点，设，‎ 所以，即． ‎ 因为点，所以． ‎ 因为，所以当时，取得最大值12．所以的最大值为11． ‎ ‎【点睛之笔】向量几何运算，轻松降计算量！‎ ‎【解法2】向量坐标法 设点，‎ 因为的中点坐标为，所以 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ 因为点在圆上，所以，即．因为点在椭圆上，所以，即． ‎ 所以． ‎ 因为，所以当时，． ‎ ‎【点睛之笔】坐标运算，少思多算也划算！‎ ‎②若直线的斜率不存在，此时的方程为， ‎ 由，解得或．‎ 不妨设，，．因为是椭圆上的任一点，设点，‎ 所以，即．‎ 所以，．‎ 所以． ‎ 因为，所以当时，取得最大值11． ‎ 综上可知，的最大值为11． ‎ ‎【点睛之笔】设而不求法，万事不求人！ ‎ ‎【解后反思】‎ 解法一 向量几何运算，将的最大值转化为求的最大值，化繁为简！‎ 解法二 向量坐标运算，直接运算求解，我选择我擅长！‎ 解法三 设而不求法，通而不俗的好方法！‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1.【2018河南中原名校质检二】直线与椭圆（）相交于两点，，线段的中点为，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2.【2018百校联盟高三摸底】已知椭圆 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析 （1）由得 ，∵，∴，‎ ‎∵，∴，解得 ，‎ ‎∴椭圆的标准方程为 [ ]‎ ‎（2）因为直线与圆相切，∴‎ 整理得 ，‎ 同理可得 ，‎ 所以， 为方程的两个根 ‎∴，又∵在椭圆上，∴‎ ‎∴，故是定值为 ‎ ‎3.【2018衡水金卷高三大联考】已知椭圆 过点，离心率为，直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）假设存在符合条件的实数.‎ ‎ ‎ ‎4．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆 （）的短轴长为2，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析 ‎ ‎（1）由已知 ，，设 的方程为 综上实数的取值范围是. ‎ ‎5．【2018湖南两市九月调研】已知椭圆经过，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析 （1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ‎ ‎，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得 ，根据韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.‎ 试题解析 （1）由题设得 ，解得 ‎ 椭圆方程为.‎ ‎ 6．【2018广西省联考】已知椭圆 的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为．（2）．‎ ‎【解析】试题分析 （1）建立方程组， ， 椭圆的方程为；（2）联立直线的方程和椭圆方程得， 为线段的中点，再求得的方程为．‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入，得，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴，‎ 因为为线段的中点，‎ 故点的坐标为，‎ ‎ ‎ ‎7．【2018广东珠海市高三摸底】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是， ， ， ． ‎ ‎（1）求， 的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线满足条件 ①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的标准方程为 ； 的标准方程为 ；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析 （1）设抛物线，则有，据此验证四个点即可求解（2）首先假设存在直线满足条件，利用向量垂直时 求出直线参数 即得结论 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）设抛物线，则有，‎ 据此验证四个点知， 在抛物线上，‎ 易得，抛物线的标准方程为 ‎ 设椭圆，把点， 代入可得 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎ ‎ ‎8．【2018超级全能生全国联考】已知椭圆过点，其离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ ‎9．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆 的离心率为，且过点， ， 是椭圆上异于长轴端点的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线 ，且，垂足为， ，垂足为，若，且 的面积是面积的5倍，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 令，所以，‎ 因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，‎ 所以，所以（当且仅当，即时“”成立），‎ 故的最大值为. ‎ ‎10．【2018广东省海珠区一模】已知椭圆的焦距为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明 直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析 （1）因为椭圆的焦距为，且过点，所以.因为，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点，则，由消去得，（*）则，因为，即，化简得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，所以直线 的斜率为定值，该值为.‎