四川省成都市青羊区石室中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

四川省成都市青羊区石室中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

成都石室中学2019-2020学年度上期高2020届10月月考 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据子集的判定可得结果.‎ ‎【详解】由题意知：，则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的周期求解.‎ ‎【详解】由于，‎ 且的周期为4，，‎ 所以原式=.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.已知命题：，，命题：若，则，则以下命题正确的为（ ）‎ A. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ B. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ C. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ D. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。‎ ‎【详解】的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。‎ ‎4.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若，，成等比数列，则（ ）‎ A. B. 35 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,‎ ‎【详解】因为，，成等比数列，所以，‎ 因此,选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎5.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（　　）‎ A. y＜x B. y≤x C. x≤y D. x＝y ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解：模拟程序的运行，可得 x＝5，y＝2，n＝1‎ x，y＝4‎ 不满足条件，执行循环体，n＝2，x，y＝8，此时，x＞y，‎ 不满足条件，执行循环体，n＝3，x，y＝16，此时，x＞y，‎ 不满足条件，执行循环体，n＝4，x，y＝32，此时，x＜y，‎ 由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．‎ 可得程序框图中的 中应填x≤y？‎ 故选：C．‎ ‎6.设函数，则满足的的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则解为，再结合的图像，则可得的解，它就是的解.‎ ‎【详解】作出的图象，可得的最小值为，‎ 令，考虑的解，‎ 考虑与的图像的交点情况，如图所示 故，下面考虑的解，如图所示，‎ 可得或．故选D.‎ ‎【点睛】复合方程的解的讨论，其实质就是方程组的解的讨论，一般我们先讨论的解，再讨论，后者的解的并集就是原方程的解.‎ ‎7.若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：曲线可化为，所以图象是以原点为圆心，为半径的圆，且只包括轴上方的图象，而直线经过定点，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点时，正好有两个交点，此时的 ‎，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为，故选C.‎ 考点：1、直线方程；2、直线与圆的位置关系；3、直线的斜率.‎ ‎8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题．‎ ‎9.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.‎ 今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．‎ ‎【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，‎ 则基本事件总数n6，‎ 他们选课相同包含基本事件m＝1，‎ ‎∴他们选课相同的概率p．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.‎ ‎10.已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（ ）‎ A. B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，判断函数单调性，再根据函数零点存在性定理，确定的大致范围，求出，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以在上恒成立，‎ 即函数在上单调递增；‎ 又，‎ 所以在上必然存在零点，即，‎ 因此，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以及零点的存在性定理即可，属于常考题型.‎ ‎11.已知双曲线（）的焦距为4，其与抛物线交于 两点，为坐标原点，若为正三角形，则的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的边长为，则，利用在抛物线上可得，把代入双曲线方程，结合可求出，从而得到双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设的边长为，由抛物线和双曲线均关于轴对称，‎ 可设， ‎ 又，故，所以，‎ 故，又，即，解得，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于 的不等式或不等式组．‎ ‎12.已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，．判断其奇偶性单调性即可得出．‎ ‎【详解】令，．‎ 则，在上为奇函数．‎ ‎，‎ 函数在上单调递增．‎ ‎，化为：，‎ 即，化为：，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得．‎ 实数的取值范围是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知数列满足，，则________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给等式，化简变形即可知道数列为以1为首项为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求出答案。‎ ‎【详解】因为，又.‎ 所以数列为以1为首项,为公比的等比数列，‎ 即 故填：100‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义、等比数列的通项，解本题的关键在于：熟练掌握对数的运算性质，将所给等式化简为等比数列的定义形式，属于基础题。‎ ‎14.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有（种）排法.‎ 所以本题答案为36.‎ ‎【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.‎ ‎15.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.‎ ‎【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为 则，可求得 设球半径为，可得方程：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由到准线的距离为2，可求出，抛物线：，，再利用，点的坐标，即可求出直线，联立直线与抛物线则可求出点的坐标，再利用，即可得出答案。‎ ‎【详解】因为到准线的距离为2，所以，抛物线：， . 设，，因为，即 所以，‎ 代入直线：‎ 所以直线为：‎ 由 ‎ 所以 ，所以， ，‎ 所以 故填：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题。‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，是上的点，平分，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可． ‎ ‎（2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，，‎ 在中，，‎ 又因为，.‎ ‎（2），由正弦定理得，‎ 设，则，则.‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键．‎ ‎18.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎①求；‎ ‎②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间的人数为，试求.‎ 附：参考数据，‎ 若随机变量服从正态分布，则，,.‎ ‎【答案】（1）75，135；（2）①；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均数，根据方差公式计算；‎ ‎（2）①利用正态分布的性质求得；‎ ‎②根据二项分布的期望公式得出．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：‎ 分值区间 频数 ‎5‎ ‎15‎ ‎40‎ ‎75‎ ‎45‎ ‎20‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（2）①由（1）知服从正态分布，且，‎ ‎∴.‎ ‎②依题意，服从二项分布，即～，则.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布的性质与应用，考查了二项分布的期望公式，考查了频率平均数与方差的运算，属于中档题．‎ ‎19.在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角大小的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.根据题意可得到四边形与四边形均为菱形，即可说明，再由题意说明平面，即，又，即可说明，即可说明平面.‎ ‎（Ⅱ）取中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、‎ 轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.令，则可写出，.即可求出平面的法向量，再由（1）知平面的法向量，代入公式即可求出二面角的平面角的余弦值，方可求出二面角大小的正弦值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.‎ ‎∵，‎ ‎∵四边形与四边形均为菱形 ‎∴，∵‎ ‎∵为等边三角形，为中点 ‎∴‎ ‎∵平面平面且平面平面 平面且 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴‎ ‎∵，分别为，的中点∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎，平面 平面 ‎（Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、‎ 轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，.‎ ‎，.‎ 设平面的一法向量.‎ 由.‎ 令，则.‎ 由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量.‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值.‎ 二面角大小的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值，其中证明线面垂直一般情况有两种思路：一，根据线面垂直的判定定理，在平面内找两条相交直线与这条直线垂直；二、通过面面垂直的性质定理，构造两平面垂直，且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线，则直线就垂直于另一个平面。二面角的正弦值一般通过向量法，先求其余弦值，再求正弦值。属于中档题。‎ ‎20.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得 ‎ 解得． ‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， ‎ 由得. ‎ 令，得． ‎ ‎，．‎ 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． ‎ 过做垂线，则垂足为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．‎ 由方程组解得，即． ‎ 而， ‎ 所以直线的方程为y=x-1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若直线为的切线，求的值．‎ ‎（2）若，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）0；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点为，则可得且，构建新函数，讨论其单调性后可得及．‎ ‎（2）原不等式等价于，构建新函数，其导数为，就和分类讨论的零点、符号及其的单调性后可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设切点为，，‎ ‎∴，令，‎ 则，‎ 当时，，在上为增函数； ‎ 当时，，在上为减函数；‎ 所以，所以，‎ 又，所以．‎ ‎（2），恒成立，．‎ 令，．‎ ‎，,‎ 当时，，所以在上为增函数，‎ ‎， ‎ ‎①若，则当时，故在上为增函数，‎ 故时，有即恒成立，满足题意.‎ ‎②若，因为为上的增函数且，，‎ 令，其中，，‎ 所以在为增函数，所以，‎ 故存在，使得且时，，‎ 在为减函数，故当时，，矛盾，舍去.‎ 综上可得：．‎ ‎【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，圆：.以原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）从原点作圆的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据圆的标准方程求出其圆心的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标。‎ ‎（Ⅱ）根据题意设出直线，联立直线与圆，即可求出弦的中点轨迹的参数方程，再将参数方程化为极坐标方程即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以圆心 所以圆心的极坐标为 ‎（Ⅱ）根据题意知直线斜率不为0，故设直线为 联立直线与圆有 ‎ ‎ ‎ 所以 ，‎ 所以弦的中点坐标为 ‎ ‎ 得到 ，再代入②得：化简有 将 代入有，化简得 又因为即 ‎ 所以 所以弦的中点轨迹的极坐标方程为 ‎【点睛】本题考查直角坐标化极坐标，直线与圆的位置关系，弦中点的轨迹方程。直角坐标与极坐标的互化需熟练掌握公式：；一般求直线与圆锥曲线相交弦中点的轨迹方程，都需设出直线，联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理表示出弦中点的坐标，再消参。属于中档题。‎ ‎ ‎