数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试（2018

数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试（2018

南阳市一中2015级高三第七次考试 文数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足 ，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ） ‎ A． B．或 C． D．‎ ‎3.若，则成立的概率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知平面向量 满足，与的夹角为 ，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 直线与圆相交于两点，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 已知是偶函数，当时，单调递减，设，则的大小关系是 ，（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知双曲线 ，直线交双曲线于两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知三棱锥的两个顶点均在某球面上，为该球的直径，‎ 是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，直线与曲线相切，则 ．‎ ‎14.若，则 ．‎ ‎15.设椭圆的左右焦点为，右顶点为是椭圆上关于原点对称的两点（均不在轴上），若直线平分线段，则的离心率为 ．‎ ‎16.在中，是边上的一点，，若为锐角，‎ 的面积为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列数列的前项和且，且.‎ ‎（1）求的值，并证明：；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎18. 如图，正方形与梯形所在的平面相互垂直，,点在线段上.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎19.有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天的饮料杯数，得到如下资料：‎ 该同学确定的研究方案是：现从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据取线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验.‎ ‎（1）求选取2组数据恰好是相邻两个月的改了；‎ ‎（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若有线性回归方程得到估计，数据与所宣称的检验数据的误差不超过3杯，则认为得到的线性回归方程是理想的，请问（2）所得线性回归方程是否理想.‎ 附：对于一组数据，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，，.‎ ‎20. 已知抛物线，过焦点的直线交于两点，是抛物线的准线与轴的交点.‎ ‎（1）若，且的面积为，求抛物线的方程；‎ ‎（2）设为的中点，过作的垂线，垂足为，证明：直线与抛物线相切.‎ ‎21.已知函数 .‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）将的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；‎ ‎（2）若，对恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDBDA 6-10: CBBAC 11、B 12、D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解（1）令，得，所以，‎ ‎，，‎ 两式相减得，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由（1）可知，数列为等差数列，公差为，首项为，‎ 所以当为奇数时，，‎ 数列为等差数列，公差为，首项为，‎ 所以当为偶数时，，‎ 综上所述.‎ ‎18.解：（1）证明：因为，所以，‎ 在梯形中，，‎ 所以，所以，所以，‎ 又平面平面，‎ 平面平面平面，‎ 所以平面，因为平面，所以，‎ 又，所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）如图，连接，连接，平面平面平面，‎ 平面，所以，所以,‎ ‎,‎ 因为平面平面，所以，，‎ 所以平面,‎ 所以.‎ ‎19. 解：（1）从这六组数据中选取2组，共有15种等可能情况，‎ 分别为 ，‎ 其中选取2组数据恰好是相邻两个月有5中情况，分别为，‎ 故求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率为.‎ ‎（2），‎ 关于的线性回归方程为.‎ ‎（3）当，，‎ 当时，，，‎ 可以认为得到的线性回归方程是理想的.‎ ‎20.解：（1）因为，所以，所以，所以，‎ 故抛物线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立，所以，‎ 其中，所以，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以抛物线在处的切线斜率为，所以直线与抛物线相切.‎ ‎21.解：（1），‎ ‎①若，所以在上单调递增；‎ ‎②若，解，得，或，‎ 解，得，‎ 此时在上单调递减.‎ 在上单调递增，在上单调递增.‎ 综上，当时，在上单调递增， ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增.‎ ‎（2）由（2）知时，存在两个极值点，‎ 且是方程的两根，所以，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 令，‎ 所以在上单调递减，所以，‎ 所以 ‎22.解：（1）由圆的参数方程为参数）知，圆心时坐标为，‎ 半径为，圆的普通方程为.‎ ‎（2）将，代入，得圆的极坐标为，‎ 设，则由，解得，‎ 所以.‎ ‎23.解：(1) ‎ ‎（2）因为，且，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，即，‎ 由恒成立，‎ 所以，结合图象知：，‎ 所以的取值范围是.‎