数学卷·2018届内蒙古包头市北重三中高二上学期期中数学试卷(文科)+(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届内蒙古包头市北重三中高二上学期期中数学试卷(文科)+(解析版)

‎2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个正确选项.)‎ ‎1.已知直线l的方程为y=x+1,则l的斜率为(  )‎ A. B.﹣2 C.2 D.﹣‎ ‎2.在空间直角坐标系中,点P(3,1,5)关于原点对称的点的坐标为 (  )‎ A.(﹣3,1,5) B.(3,﹣1,﹣5) C.(3,﹣1,﹣5) D.(﹣3,1,﹣5)‎ ‎3.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(  )‎ A.50 B.40 C.25 D.20‎ ‎4.点A(3,2)到直线x+y+3=0的距离为(  )‎ A.4 B.3 C.4 D.3‎ ‎5.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.7‎ ‎8.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列命题:‎ ‎①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;‎ ‎②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;‎ ‎③若α⊥β,m∥α,则m⊥β;‎ ‎④若m⊥α,m∥β,则α⊥β;‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.①② B.①③ C.①④ D.②④‎ ‎9.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AB=2,AA1=3,点D是B1C1的中点,则AD与平面ABC所成的角为(  )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎10.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1:2,则圆C的方程为(  )‎ A. B.(x±)2+y2=‎ C.x2+(y±)2= D.x2+(y±)2=‎ ‎11.母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π,则该圆锥的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎12.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,,则球O的表面积为(  )‎ A.16π B.12π C.8π D.4π ‎ ‎ 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸对应的横线处.)‎ ‎13.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值是  .‎ ‎14.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,若从初中生中抽取了30人,则n的值等于  .‎ ‎15.直线l:y=x+2与圆x2+y2=5相交于M,N两点,则线段MN的长为  .‎ ‎16.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO;⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中,正确结论的序号是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共6小题,17题10分,18~22题每题12分.共70分)‎ ‎17.求经过点(﹣3,﹣1),且与直线x﹣3y﹣1=0平行的直线的一般式方程.‎ ‎18.求经过点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.‎ ‎19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.‎ 求证:‎ ‎(1)DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎20.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,求直线A1M与DN所成角的大小.‎ ‎21.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.‎ ‎(1)求该几何体的体积V;‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ ‎22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个正确选项.)‎ ‎1.已知直线l的方程为y=x+1,则l的斜率为(  )‎ A. B.﹣2 C.2 D.﹣‎ ‎【考点】直线的斜率.‎ ‎【分析】利用斜截式即可得出斜率.‎ ‎【解答】解:直线l的方程为y=x+1,则l的斜率为.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.在空间直角坐标系中,点P(3,1,5)关于原点对称的点的坐标为 (  )‎ A.(﹣3,1,5) B.(3,﹣1,﹣5) C.(3,﹣1,﹣5) D.(﹣3,1,﹣5)‎ ‎【考点】空间中的点的坐标.‎ ‎【分析】直接利用中点坐标公式,求出点P(3,1,5)关于原点的对称点的坐标即可.‎ ‎【解答】解:由中点坐标公式可知,点P(3,1,5)关于原点的对称点的坐标是(﹣3,﹣1,﹣5).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为(  )‎ A.50 B.40 C.25 D.20‎ ‎【考点】系统抽样方法.‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵从1000名学生中抽取40个样本,‎ ‎∴样本数据间隔为1000÷40=25.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.点A(3,2)到直线x+y+3=0的距离为(  )‎ A.4 B.3 C.4 D.3‎ ‎【考点】点到直线的距离公式.‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出.‎ ‎【解答】解:利用点到直线的距离公式可得:点A(3,2)到直线x+y+3=0的距离d==4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎【考点】简单随机抽样.‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.‎ ‎【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,‎ 第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,‎ 第三个数为08,符合条件,‎ 以下符合条件依次为:08,02,14,07,01,‎ 故第5个数为01.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆,再由俯视图内部只有一个虚圆,断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱,由此可排除前三个选项.‎ ‎【解答】解:由俯视图可知,原几何体的上底面应该是圆面,由此排除选项A和选项C.‎ 而俯视图内部只有一个虚圆,所以排除B.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.7‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3,可得:进入循环的条件为i≤3,即i=1,2,3.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.‎ ‎【解答】解:当i=1时,S=1+1﹣1=1;‎ 当i=2时,S=1+2﹣1=2;‎ 当i=3时,S=2+3﹣1=4;‎ 当i=4时,退出循环,输出S=4;‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不重合的平面,给出下列命题:‎ ‎①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;‎ ‎②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;‎ ‎③若α⊥β,m∥α,则m⊥β;‎ ‎④若m⊥α,m∥β,则α⊥β;‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.①② B.①③ C.①④ D.②④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】在①中,由线面垂直的性质定理得m∥n;在②中,n与α相交、平行或n⊂α;在③中,m与β相交、平行或m⊂β,;在④中,由面面垂直的判定定理得α⊥β.‎ ‎【解答】解:由m,n为两条不同的直线,α,β为两个不重合的平面,知:‎ 在①中,若m⊥α,n⊥α,则由线面垂直的性质定理得m∥n,故①正确;‎ 在②中,若m⊥α,n⊥m,则n与α相交、平行或n⊂α,故②错误;‎ 在③中,若α⊥β,m∥α,则m与β相交、平行或m⊂β,故③错误;‎ 在④中,若m⊥α,m∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故④正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AB=2,AA1=3,点D是B1C1的中点,则AD与平面ABC所成的角为(  )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎【考点】直线与平面所成的角.‎ ‎【分析】如图所示,取BC的中点E,连接ED,EA.由正三棱柱ABC﹣A1B1C1,可得:AE⊥BC,四边形DECC1是平行四边形,可得DE⊥平面ABC,∠DAE是AD与平面ABC所成的角.利用直角三角形的边角关系即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 取BC的中点E,连接ED,EA.‎ 由正三棱柱ABC﹣A1B1C1,可得:AE⊥BC,四边形DECC1是平行四边形.‎ ‎∴DE∥CC1,‎ 又CC1⊥平面ABC,∴DE⊥平面ABC.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角.‎ ‎∵等边三角形ABC中,AB=2,则AE=.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角.‎ 在RT△ADE中,tan∠DAE===.‎ ‎∴∠DAE=60°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1:2,则圆C的方程为(  )‎ A. B.(x±)2+y2=‎ C.x2+(y±)2= D.x2+(y±)2=‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程.‎ ‎【分析】设圆心C(0,a),由题意可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为,故有tan=||,解得a=±,可得半径的值,从而求得圆的方程.‎ ‎【解答】解:设圆心C(0,a),则半径为CA,根据圆被x轴分成两段弧长之比为1:2,‎ 可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为,故有tan=||,解得a=±,‎ 半径r=,故圆的方程为 x2+(y±)2=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π,则该圆锥的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【分析】求出圆锥的侧面展开图扇形的弧长,再求底面半径,求出圆锥的高,即可求它的体积.‎ ‎【解答】解:∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π,‎ ‎∴扇形的弧长=‎ 圆锥的侧面展开图扇形的弧长,即底面圆的周长为π•1=π,于是设底面圆的半径为r,‎ 则有2πr=π,所以r=,‎ 于是圆锥的高为h==,‎ 该圆锥的体积为:π.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,,则球O的表面积为(  )‎ A.16π B.12π C.8π D.4π ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,知BC=,∠ABC=90°.故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1,由此能求出球O的半径,从而能求出球O的表面积.‎ ‎【解答】解:如图,三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,‎ ‎∵SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,‎ ‎∴BC==,‎ ‎∴∠ABC=90°.‎ ‎∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1,‎ ‎∴球O的半径R==2,‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=16π.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸对应的横线处.)‎ ‎13.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值是 ﹣1 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.‎ ‎【解答】解:∵l1⊥l2,则﹣1×(﹣a)=﹣1,‎ 解得a=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,若从初中生中抽取了30人,则n的值等于 100 .‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由分层抽样的定义得n==100,‎ 故答案为:100‎ ‎ ‎ ‎15.直线l:y=x+2与圆x2+y2=5相交于M,N两点,则线段MN的长为 2 .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离,利用弦长公式求出线段MN的长.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2=5的圆心到直线x﹣y+2=0的距离等于=,‎ 由弦长公式得 MN=2=2,‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO;⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中,正确结论的序号是 ①②③④ .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】由题意和线面垂直的判定定理、定义判断出①④正确;由AB∥CD和线面平行的判定定理判断出②正确;由SD⊥底面ABCD、线面角的定义判断出③正确;由异面直线所成角的定义、边的大小关系判断出⑤错误.‎ ‎【解答】解:连接SO,如右图:‎ ‎∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形,‎ ‎∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD,‎ ‎∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC,‎ ‎∵SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,‎ ‎∵SB⊂平面SBD,∴AC⊥SB,则①正确;‎ ‎∵AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,‎ ‎∴AB∥平面SCD,则②正确;‎ ‎∵SD⊥底面ABCD,‎ ‎∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,‎ ‎∵AD=CD,SD=SD,‎ ‎∴∠SAD=∠SCD,则③正确;‎ ‎∵AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,‎ ‎∴AC⊥SO,则④正确;‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠SCD是AB与SC所成的角,∠SAB是DC与SA所成的角,‎ ‎∵△SDA≌△SDC,∴SA=SC,‎ ‎∵AB=CD,SB>SD,‎ ‎∴∠SCD≠∠SAB,则⑤不正确,‎ 故答案为:①②③④.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共6小题,17题10分,18~22题每题12分.共70分)‎ ‎17.求经过点(﹣3,﹣1),且与直线x﹣3y﹣1=0平行的直线的一般式方程.‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】设所求的方程为x﹣3y+c=0,代点可得关于c的方程,解之代入可得.‎ ‎【解答】解:由题意可设所求的方程为x﹣3y+c=0,‎ 代入已知点(﹣3,﹣1),可得﹣3+3+c=0,即c=0,‎ 故所求直线的方程为:x﹣3y=0.‎ ‎ ‎ ‎18.求经过点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.‎ ‎【考点】圆的一般方程.‎ ‎【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A、B、C的坐标代入得到关于D、E、F的方程组,解之得到圆的方程.‎ ‎【解答】解:设经过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ ‎∵点A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点在圆上,‎ ‎∴将A、B、C的坐标代入,‎ 可得,‎ 解得,故圆的方程为x2+y2 ﹣8x+6y=0.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.‎ 求证:‎ ‎(1)DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.‎ ‎【分析】(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.‎ ‎【解答】证明:(1)根据题意,得;‎ E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,‎ 所以DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,‎ 所以CC1⊥平面ABC,‎ 因为AC⊂平面ABC,‎ 所以AC⊥CC1;‎ 又因为AC⊥BC,‎ CC1⊂平面BCC1B1,‎ BC⊂平面BCC1B1,‎ BC∩CC1=C,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1;‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1,‎ 所以BC1⊥AC;‎ 因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,‎ 所以BC1⊥平面B1AC;‎ 又因为AB1⊂平面B1AC,‎ 所以BC1⊥AB1.‎ ‎ ‎ ‎20.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,求直线A1M与DN所成角的大小.‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的数量积求出与的夹角,即可得出异面直线A1M与DN所成的角.‎ ‎【解答】解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设棱长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),‎ A1(2,0,2),‎ ‎=(0,2,1),=(﹣2,1,﹣2);‎ 所以•=0×(﹣2)+2×1+1×(﹣2)=0,‎ 所以⊥,‎ 即A1M⊥DN,异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°.‎ ‎ ‎ ‎21.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.‎ ‎(1)求该几何体的体积V;‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形,分析出图形之后,再利用公式求解即可.‎ ‎【解答】解:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形,如图所示.‎ ‎(1)几何体的体积为 V=•S矩形•h=×6×8×4=64.‎ ‎(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:‎ h1==5.‎ 左、右侧面的底边上的高为:‎ h2==4.‎ 故几何体的侧面面积为:‎ S=2×(×8×5+×6×4)‎ ‎=40+24.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由PA⊥面ABCD,可得PA⊥BD;设AC与BD的交点为O,则由条件可得BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC.再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC.‎ ‎(Ⅱ)由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角,求出GO和AC的值,可得OC、OD的值,再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值.‎ ‎(Ⅲ)先证 PC⊥OG,且 PC==.由△COG∽△CAP,可得,解得GC的值,可得PG ‎=PC﹣GC 的值,从而求得 的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD. ‎ ‎∵AB=BC=2,AD=CD=,设AC与BD的交点为O,则BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC.‎ 而PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.‎ ‎(Ⅱ)若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,故由PA⊥面ABCD,可得GO⊥面ABCD,‎ ‎∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角.‎ 由题意可得,GO=PA=.‎ ‎△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12,‎ ‎∴AC=2,OC=.‎ ‎∵直角三角形COD中,OD==2,‎ ‎∴直角三角形GOD中,tan∠DGO==.‎ ‎(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,∵OG⊂平面BGD,∴PC⊥OG,且 PC==.‎ 由△COG∽△CPA,可得,即,解得GC=,‎ ‎∴PG=PC﹣GC=﹣=,∴==.‎ ‎ ‎ ‎2016年12月1日
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