2019学年高二数学下学期期中试题 理新 人教
2019学年第二学期期中考试试卷
高 二 数 学 （理科）
一. 选择题(每小题5分，共60分)
1．下面四个推理不是合情推理的是( )
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为( )
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
3．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B. C．－ D．－1
5．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于( )
A. B．－ C．± D．1
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i B．－3－2i C．2－3i D．3－2i
- 6 -
8．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于( )
A . B．－1 C．2 D．3
9．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，
则·＝ ( )
A．1 B．－1 C． D．－
10．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5 B．7
C．10 D．－19
11．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k
12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x
0的解集为( )
A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．∅
二. 填空题(每小题5分，共20分)
13．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
14． (3x＋sin x)dx＝__________.
15．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
16．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
三. 解答题(共70分)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
- 6 -
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)＋>2＋2.
18．(本小题满分12分)求下列各函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
19．(本小题满分12分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
20．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0.
21. (本小题满分12分)如图在四棱锥P—ABCD中底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1)求证PA∥平面EDB
(2)求证PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小
- 6 -
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实
数a的取值范围．
- 6 -
一. 选择题(每小题5分，共60分)
1-5 CBCAA 6-10 ABCBA 11-12 BA
二. 填空题(每小题5分，共20分)
13 ±1_ 14 ＋1___ 15 π 16
17【证明】 (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg ≥lg ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．解析：（1）；
（2）；
（3）；
19.解：a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
所以a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.
20 【解】 (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
- 6 -
(4)当即k＝－1时，z是0.
22【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln 2
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