数学（文）卷·2018届江苏省启东中学高三上学期第一次月考（2017

数学（文）卷·2018届江苏省启东中学高三上学期第一次月考（2017

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考 ‎ 高三数学试卷（文科） 命题人：施勇 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．‎ ‎3．答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．命题“，x2≥3”的否定是 ▲ ．‎ ‎3．设幂函数的图象经过点，则 ▲ ‎ ‎4．计算 ▲ ．‎ ‎5．若则的值为 ▲ ‎ ‎6.已知满足约束条件若的最大值为4，则的值为 ▲ .‎ ‎7．公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，，则 ‎　 ▲　　．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：y＝ex上一点，直线l：x＋2y＋c＝0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎9．若正实数满足，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎10. 设为锐角，若，则的值为 ▲ .‎ ‎11. 如图所示的梯形中，‎ ‎ 如果= ▲ .‎ ‎12. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间 ‎[－，]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .‎ ‎13. 已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m|x|恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为 ▲ .‎ ‎14. 已知函数f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋，当x∈[0，ln3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为 ▲ .‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 15. ‎（本小题满分14分）‎ 设的内角所对的边分别为,若,‎ ‎（1）求的值；（2）求的值为. ‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 设：实数满足，其中；：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为年）.‎ ‎（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？‎ ‎（利润=累积收入+销售收入-总支出）‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．‎ ‎（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；‎ ‎（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．‎ O A B M N O A B M N ‎19.（本小题满分16分）‎ 设,函数.‎ ‎（1）证明在上仅有一个零点；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 设数列的前项和为，且满足，为常数．‎ ‎（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．‎ ‎（2）当时，求证：．‎ ‎（3）当时，求证：当时，．‎ 答案（文科）‎ ‎1. 2.， 3. 4. 5.3 6. 2‎ ‎7．8．－4－ln2. 9．10． 11.‎ ‎12.{，，}． 13.(，8－2) 14. ‎15. .解:1）在中,,‎ 由正弦定理,得 由余弦定理=-------7分 ‎ 2）‎ ‎-------10分 ‎ -------14分 ‎16.解：（1）由，得，又，所以，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围是.‎ 为真时等价于，得，‎ 即为真时实数的取值范围是.‎ 若为真，则实数的取值范围是.‎ ‎（2）是的必要不充分条件，等价于且，‎ 设，，则；‎ 则，所以实数的取值范围是.‎ ‎17.解：（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，‎ ‎ 则，‎ ‎ 即，‎ ‎ 由，解得，‎ ‎ 而，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.‎ ‎ （2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 ‎ ‎ 为，‎ ‎ 而，当且仅当时等号成立。‎ ‎ 答：第5年底出售货车，年平均利润最大.‎ ‎18.解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．‎ 在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，‎ 所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，‎ 在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．‎ 在△OMN中，由＝，得MN＝×＝．‎ ‎（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．‎ 在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，‎ 所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，‎ 在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)‎ ‎＝cos∠AOM＝．‎ 由＝，得ON＝·＝．‎ 所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝··· ‎＝，0＜x＜3．‎ 令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝(t－9＋)‎ ‎≥·(2－9)＝．‎ 当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．‎ 所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．‎ 解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜ 在△OAM中，由＝，得OM＝．‎ 在△OAN中，由＝，得ON＝＝．‎ 所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝··· ‎＝＝＝ ‎＝＝，0＜θ＜．‎ 当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．‎ 所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．‎ ‎19.解：（1）f'（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2∴f′（x）≥0，-------2分 ‎∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．‎ ‎∵a＞1．∴1﹣a＜0又f（0）=1﹣a，∴f（0）＜0．‎ ‎，‎ 使得 ‎∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分 ‎（2）证明：f'（x）=ex（x+1）2，‎ 设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，‎ ‎∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，‎ ‎∴x0=﹣1-------------9分 将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，‎ ‎∴------11分 令；g（m）=em﹣（m+1）g（m）=em﹣（m+1），‎ 则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0．‎ 当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0‎ ‎∴g（m）的最小值为g（0）=0 ------------13分 ‎∴g（m）=em﹣（m+1）≥0∴em≥m+1∴em（m+1）2≥（m+1）3‎ 即：‎ ‎∴m≤--------------------------------16分 解：（1）若，则，即，即，‎ 则，所以不存在数列使得． ‎ ‎（2）由得，‎ 当时，，两式相减得，‎ 即，，，，‎ 当时，，即，综上，．‎ ‎（3）证1：由得，‎ 当时，，两式相减得，‎ 解得，所以当时，，‎ 因为，‎ 又由可见，所以；‎ 另一方面，，故．‎ 证2：由得，，‎ 所以当时，，下同证1.‎