2018-2019学年重庆市重庆一中高一下学期期末考试 数学（word版）

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秘密★启用前 2018-2019 学年重庆市重庆一中高一下学期期末考试 数学试题卷 2019.7 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项符合题目要求) 1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝() A.5 B.7 C.9 D.11 2.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户， 若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户 数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为(　　) A.40 B.36 C.30 D.20 3.已知向量 a＝(1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝6”是“a∥(a＋b)”的(　) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 m，n 表示两条不同直线，α 表示平面，下列说法正确的是() A.若 m∥α，n∥α，则 m∥n B.若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n C.若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D.若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α 5.在△ABC 中，AD 为BC边上的中线，E为AD的中点，则퐸퐵 = ( ) A.3 4퐴퐵 ― 1 4퐴퐶B.1 4퐴퐵 ― 3 4퐴퐶C.3 4퐴퐵 + 1 4퐴퐶 D.1 4퐴퐵 + 3 4퐴퐶 6.在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面积为 3 2 ，则 BC 的长为(　) A. 3 2 B. 3 C.2 3 D.2 7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是(　　) A. 收入最高值与收入最低值的比是 3:1 B. 结余最高的月份是 7 月份 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 （注：结余=收入 支出） 8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把 100 个面包 分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7是较小的两份之和，则最小的 一份为() A.5 3 B.10 3 C.5 6 D.11 6 9.若 ,则 的最小值是（） A. B. C. D. 10.如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥 N－PAC 与三 棱锥 D－PAC 的体积比为(　) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶3D.1∶6 11.已知四棱锥 中，平面 平面 ，其中 为正方形， 为等腰直 角三角形， ，则四棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C. D． 12.在△ABC 中，已知 ，P 为线段 AB 上的点，且 的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13．某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位：cm)分布的 − abba 24 log)43(log =+ ba + 326 + 327 + 346 + 347 + P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD PAD∆ 2PA PD= = P ABCD− 10π 4π 16π 8π 9, sin cos sin , 6ABCAB AC B A C S∆⋅ = = ⋅ =  , | | | | CA CBCP x y xy CA CB = ⋅ + ⋅     则 茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175 cm，但记录中 有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数 字记为 x，那么 x 的值为________. 14.在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝ 2－1，a5＝ 2＋1，则 a23＋2a2a6＋a3a7＝___. 15.如图所示，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D 是 AC 的中点，AA1∶AB＝ 2∶1，则异面 直线 AB1 与 BD 所成的角为________. 16.(原创)在△ 中，若 ，点 ， 分别是 ， 的中点， 则 的取值范围为． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 10 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋1 2an＝1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 ，令 Tn＝ 1 b1b2＋ 1 b2b3＋…＋ 1 bnbn＋1，求 Tn. 18.(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC ­A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F 分 别是 A1C1，BC 的中点． (1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； 19.(本小题满分 12 分)某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是 百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 ．现从参与关注扫黑除恶的人群 中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出 的值； （2）求这 200 人年龄的样本平均数（同一组数据用该 区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； 20.(本小题满分 12 分)如图所示，平面 ABCD⊥平面 BCE，四边形 ABCD 为 矩形，BC＝CE，点 F 为 CE 的中点. ABC 3 cos 3 cos 2a B b A b+ = E F AC AB BE CF ))(1(log 1 3 1 ∗ + ∈−= NnSb nn %80 )25,15[ )35,25[ )45,35[ )55,45[ )65,55[ a (1)若 BE=BC=CD=2，求三棱锥 的体积； (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM⊥BE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的值； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围． 22.(原创)(本小题满分 12 分)已知数列 且 (1)设 ，证明数列 是等比数列，并求数列 的通项； (2)若 ，并且数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求 正整数 的最小值。（注：当 时，则 ） 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC∆ , ,A B C , ,a b c (sin ,sin sin )m A B C= − ( 3 , )n a b b c= − + m n⊥  C ABC∆ 1c = 3a b− BFCD − ,8,1},{ 21 == aaan )(244 * 12 Nnaaa nnn ∈−−= ++ nnn aab 21 −= + }2{ −nb }{ na n n ac 1= }{ nc n nT 364 45kTn ≤ n k 4≥n nn 22 1 ≥− 1 7( , )4 83 π )2(2 +n n 答案 A C A B A B D A D C D C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 题号 13 14 15 16 答案 2 8 17.解(1)当 n＝1 时，a1＝S1， 由 S1＋1 2a1＝1，得 a1＝2 3， 当 n≥2 时，Sn＝1－1 2an，Sn－1＝1－1 2an－1， 则 Sn－Sn－1＝1 2(an－1－an)，即 an＝1 2(an－1－an)， 所以 an＝1 3an－1(n≥2). 故数列{an}是以2 3为首项，1 3 为公比的等比数列. 故 an＝2 3·(1 3 )n－1 ＝2·(1 3 ) n (n∈N*). (2)因为 1－Sn＝1 2an＝(1 3 ) n . 所以 bn＝ (1－Sn＋1)＝ (1 3 )n＋1 ＝n＋1， 因为 1 bnbn＋1＝ 1 （n＋1）（n＋2）＝ 1 n＋1 － 1 n＋2 ， 所以 Tn＝ 1 b1b2＋ 1 b2b3＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝(1 2－1 3)＋(1 3－1 4)＋…＋( 1 n＋1－ 1 n＋2)＝1 2－ 1 n＋2= 18.(1)证明：在三棱柱 ABC ­ A1B1C1 中，BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F，G 分别是 A1C1，BC，AB 的中点， 所以 FG∥AC，且 FG＝1 2AC，EC1＝1 2A1C1. 因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1， 所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1， 所以四边形 FGEC1 为平行四边形， 所以 C1F∥EG. 3 1log 3 1log 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. 19.(1)由 ，得 . (2)平均数为； 岁； 设中位数为，则 岁. 20.(1)解：因为平面 ABCD⊥平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，DC⊥BC，所以 DC⊥平面 BCE ， (2)解　当 P 为 AE 中点时，有 PM⊥BE， 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH，∵P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点， ∴PH∥AB，又 AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D 四点共面. ∵平面 ABCD⊥平面 BCE，平面 ABCD∩平面 BCE＝BC， CD⊂平面 ABCD，CD⊥BC. ∴CD⊥平面 BCE，又 BE⊂平面 BCE， ∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H 为 BE 的中点，∴CH⊥BE， 又 CD∩CH＝C，∴BE⊥平面 DPHC，又 PM⊂平面 DPHC，∴BE⊥PM，即 PM⊥BE. 21. （2）由（1）得 ，即 ，又 为锐角三角形，故 ，从 而 ， 由 ，所以 ，故 ， 5 6A B π+ = 5 6B A π= − ABC∆ 50 6 2 0 2 A A π π π  < − <  < < 3 2A π π< < 1c = 1 sin sinsin 6 a b A Bπ = = 2sin , 2sina A b B= = 3 32)312 1(3 1 3 1 =××××== ∆− DCSV BFCBFCD 所以 ． 由 ，所以 ，所以 ，即 22.（1）证明： ，而 是以 4 为首项 2 为公比的等比数列， 即 ， 累加法可求出 （2） ， ， ， 由条件知当 时， ，即 而 综上所述 的最小值为 10. 3 2 3sin 2sin 2 3sin 2sin( )6a b A B A A π− = − = − + 2 3sin 2sin cos 2cos sin 3sin cos 2sin( )6 6 6A A A A A A π π π= − − = − = − 3 2A π π< < 6 6 3A π π π< − < 1 3sin( )2 6 2A π< − < 3 (1, 3)a b− ∈ 222 442 22 22 2 2 1 1 1 121 =−− −−=−− −−=− − + + + +++ nn nn nn nn n n aa aa aa aa b b 421 =−b ∴ }2{ −nb 122 +=− n nb 22 1 += +n nb 222 1 1 +=− + + n nn aa nn n n n aa 2 1122 1 1 +=−+ + 1 2 1 2 1 2 −     −+= n n n na ∴ 22)12( 1 −+= −n n na 22)12( 11 1 −+== −n n n nac 26 1,8 1,1 321 === ccc 09.8364 45 1 ≥⇒≤ kkT 1.9364 45 2 ≥⇒≤ kkT 41.9364 45 3 ≥⇒≤ kkT 4≥n nn 22 1 ≥− )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1 )12)(22( 1 224 1 22)12( 1 21 +−−=−+<−+=−+≤−+= − nnnnnnnnnc nn ∴ )12(2 1 728 899)12 1 7 1(2 1 104 121)( 154321 +−=+−+<+++++++= − nncccccccT nnn  9.9364 45 728 899 ≥⇒≤< kk *Nk ∈ k