- 2021-06-19 发布 |
- 37.5 KB |
- 13页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:11
www.ks5u.com 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 [课程目标] 1.了解异面直线所成角的概念,会求一些较特殊的异面直线所成的角;2.掌握直线和平面垂直的定义及相关概念;3.掌握直线和平面垂直的判定定理及判定方法. 知识点一 直线与直线所成的角 [填一填] 1.两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 2.如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a′,b′,则a′与b′所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小. 3.规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°.空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m. [答一答] 1.求异面直线所成的角的解题思路是什么? 提示:把空间两异面直线通过平移,转化为平面内相交直线所成的角,具体的平移过程应视题而定,主要有以下四种平移途径:①利用三角形的中位线平移;②利用平行线分线段成比例的推论平移;③利用平行四边形平移;④利用补形平移. 知识点二 直线与平面垂直及其判定定理 [填一填] 1.直线与平面垂直的定义: (1)文字语言:直线l与平面α内的任意直线都垂直. (2)图形语言:如下图所示. (3)符号语言:∀m⊂α,l⊥m⇔l⊥α. 2.直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. (2)图形语言:如下图所示. (3)符号语言:m⊂α,n⊂α,m∩n≠∅,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α. [答一答] 2.如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,l与α垂直吗? 提示:不一定.若平面内的无数条直线是平行的,则直线l与平面可能平行,也可能垂直,也可能是相交但不垂直,也可能直线l在平面内. 3.如果一条直线和平面内的两条直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直吗?为什么? 提示:无法判断这条直线和这个平面是否垂直.因为当这两条直线相交时,由判定定理可知直线和平面垂直;而当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直,直线可能在平面内,也可能与平面平行,还可能与平面斜交. 4.直线与平面垂直的判定定理的作用是什么? 提示:直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据,体现了相互转化的数学思想,在应用时,应该注意定理条件的完备性. 知识点三 直线与平面垂直的性质 [填一填] 定理内容:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b. 图形语言:如图所示. 作用:证明两直线平行. [答一答] 5.两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面吗? 提示:垂直.因为两条平行线中的一条垂直于这个平面,所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线,所以另一条直线也垂直于这两条相交直线,故另一条也垂直于这个平面. 6.分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行? 提示:平行.因为一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面的平行平面,所以这两条直线垂直于同一个平面,所以这两条直线平行. 知识点四 直线与平面垂直的应用 [填一填] 1.如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线),称C为斜足. 2.如图中,AB是平面α的垂线段,AC是平面α的斜线段,B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角. [答一答] 7.求线面角的常用方法有哪些? 提示:(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算). (2)转移法(找过点与面平行的线或面). (3)等积法(三棱锥变换顶点,属间接求法). 类型一 异面直线所成的角 [例1] 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小. [解] 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB, GF∥CD且GF=CD, 由AB=CD知EG=FG, 从而可知∠GEF为EF与AB所成角,∠EGF或其补角为AB与CD所成角. ∵AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°, 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°, 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角:求角度,常利用三角形. (3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. [变式训练1] 在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. 解:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G. 则OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 类型二 直线与平面垂直的判定定理 [例2] 如图所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC. [证明] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC. 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC. 1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法. 2.线线垂直与线面垂直的转化关系 [变式训练2] 如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别为AB、PC的中点, 求证:MN⊥平面PCD. 证明:取PD的中点E,连接AE,NE,∵N,E为中点, ∴NE为△PCD的中位线,∴NE綉CD. 在矩形ABCD中,AB綉CD, 又∵M为AB的中点,∴AM綉CD.∴AM綉NE, ∴四边形AMNE为平行四边形,∴AE∥MN. 又∵△PAD为等腰三角形,E为PD的中点. ∴AE⊥PD,∴MN⊥PD. 连接PM、CM,设AD=a,AB=2b, ∴PM2=a2+b2,CM2=a2+b2, ∴CM=PM,∴MN⊥PC. 又∵PC∩PD=P,∴MN⊥平面PCD. 类型三 直线与平面垂直的性质定理 [例3] 如右图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为A1D和AC上的点,EF与异面直线AC,A1D均垂直.求证:EF∥BD1. [分析] BD1为正方体的体对角线,连接AB1,B1C后可证得BD1⊥平面AB1C,只需证EF⊥平面AB1C即可. [证明] 连接AB1,B1C,BD,B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C. 又EF与异面直线AC,A1D均垂直,即EF⊥AC,EF⊥A1D. 又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C, ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征,解题时,要充分挖掘这些几何体的线面关系.如直棱柱的侧棱垂直于底面等. [变式训练3] 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l. 证明:因为EA⊥α,α∩β=l, 即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理,得a∥l. 类型四 直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 [例4] 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,四边形 ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,E为AB的中点,P为线段CM上的一点. 求证:DE⊥CN. [证明] 连接DB,在菱形ABCD中, AD=AB,∠DAB=60°. ∴△ABD为等边三角形. 又∵E为AB的中点,∴DE⊥AB. 又∵AB∥DC,∴DE⊥DC. ∵四边形ADNM为矩形,∴DN⊥AD. 又∵平面ADNM⊥平面ABCD, 平面ADNM∩平面ABCD=AD,DN⊂平面ADNM, ∴DN⊥平面ABCD, ∵DE⊂平面ABCD,∴DN⊥DE. 又∵DE⊥DC,DC∩DN=D,∴DE⊥平面DCN, ∵CN⊂平面DCN,∴DE⊥CN. 1.线线垂直的证明,常转化为线面垂直来证明,即:把两条直线中一条放在某个平面内,然后证明另一条垂直于这个平面.要证线面垂直,可通过线面垂直的定义及判定定理,体现了→→,解题时要注意这种相互转化关系的合理应用. 2.要学会逆向分析的方法,从要证明的结论入手,层层递推,这是解决问题的有效方法. [变式训练4] 已知α∩β=AB,PQ⊥α于Q,PO⊥β于O,OR⊥ α于R,求证:QR⊥AB. 证明: 如图,∵α∩β=AB,PO⊥β于O,∴PO⊥AB. ∵PQ⊥α于Q,∴PQ⊥AB. ∵PO∩PQ=P,∴AB⊥平面PQO. ∵OR⊥α于R,∴PQ∥OR. ∴PQ与OR确定平面PQRO. 又∵QR⊂平面PQRO,∴QR⊥AB. 类型五 点到平面的距离 [例5] 如图所示,已知P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离. [解] 过P作PO⊥平面ABC于O,连接AO、BO、CO. ∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. ∵PA=PB=PC=a,∴△PAO≌△PBO≌△PCO. ∴OA=OB=OC,∴O为△ABC的外心. ∵PA、PB、PC两两垂直, ∴AB=BC=CA=a,△ABC为正三角形, ∴AO=AB=a,∴PO==a. 因此点P到平面ABC的距离为a. 1.求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离,然后使所求距离在某一个三角形中,最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. 2.求距离问题转化成解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识. [变式训练5] 已知:线段AB的中点为O,O∈平面α.求证:A,B两点到平面α的距离相等. 证明:(1)当线段AB⊂平面α时,显然A,B到平面α的距离均为0,相等. (2)当AB⊄平面α时,如图,分别过点A,B作平面α的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面α的距离,且AA1∥BB1.所以AA1与BB1确定一个平面,设为β,则α∩β=A1B1.因为O∈AB,AB⊂β,所以O∈β. 又因为O∈α,所以O∈A1B1.所以∠AOA1=∠BOB1. 又AA1⊥A1O,BB1⊥B1O,AO=BO. 所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1=BB1, 综上,A,B两点到平面α的距离相等. 1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,与棱AA1互相垂直的棱的条数为( C ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:∵AA1⊥平面ABCD,AA1⊥平面A1B1C1D1,∴与AA1垂直的棱共有8条. 2.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( C ) A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直 B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 C.β内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直 D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 解析:因为平面α与平面β相交,直线m⊥α,所以m垂直于两平面的交线,所以β内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直. 3.在三棱锥PABC中,若PA=PB=PC,则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的( B ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析:如图,作PO⊥平面ABC, ∵PA=PB=PC, 易证△AOP,△BOP,△COP全等, ∴OA=OB=OC. 4.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm, 则B到平面PAC的距离为 cm. 解析:∵C为圆周上的一点,AB为直径,∴BC⊥AC. 又∵PA⊥平面⊙O,BC⊂平面⊙O,∴PA⊥BC. 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,C为垂足, ∴BC即为B到平面PAC的距离. 在Rt△ABC中,BC===(cm).查看更多