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文档介绍
2020高中数学 第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标:1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α=2sin_αcos_α C2α cos 2α=cos2α-sin2α T2α tan 2α= 2.余弦的二倍角公式的变形 3.正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α=sin 2α,cos α=. (2)1±sin 2α=(sin_α±cos_α)2. [基础自测] 1.思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.( ) [解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此说法错误. (2)√.当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α. (3)×.当cos α=时,cos 2α=2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2.sin 15°cos 15°=________. [sin 15°cos 15°=×2sin 15°cos 15°=sin 30°=.] 3.-cos2=________. 8 - [-cos2=-=--×=-.] 4.若tan θ=2则tan 2θ=________. - [tan 2θ===-.] [合 作 探 究·攻 重 难] 给角求值 (1)coscoscos的值为( ) A. B.- C. D.- (2)求下列各式的值: ①cos415°-sin415°;②1-2sin275°;③; ④-. 【导学号:84352329】 (1)D [(1)∵cos=-cos,cos=-cos, ∴coscoscos=coscoscos=====-. (2)①cos415°-sin415°=(cos215°-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=. ②1-2sin275°=1-(1-cos 150°)=cos 150°=-cos 30°=-. ③=2× =2×=-2. ④-= 8 = = ==4.] [规律方法] 对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. [跟踪训练] 1.求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°; (2)+. [解] (1)cos 36°cos 72°====. (2)原式= = ===4. 给值求值、求角问题 (1)已知cos=,≤α<,求cos的值; (2)已知α∈,且sin 2α=sin,求α. [思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解: (1)α+与2α+,α-与2α-具有2倍关系,用二倍角公式联系; 8 (2)2α+与2α差,用诱导公式联系. [解] (1)∵≤α<,∴≤α+<. ∵cos>0,∴<α+<, ∴sin=-=-=-, ∴cos 2α=sin=2sincos=2××=-, sin 2α=-cos=1-2cos2=1-2×2=, ∴cos=cos 2α-sin 2α=×-×=-. (2)∵sin 2α=-cos=- =1-2cos2, sin=-sin =-cos =-cos, ∴原式可化为1-2cos2 =-cos, 解得cos=1或cos=-. ∵α∈, ∴α+∈, 故α+=0或α+=, 即α=-或α=. 母题探究:1.在例2(1)的条件下,求sin 4α的值. 8 [解] 由例2(1)解析知sin 4α=2sin 2αcos 2α=2××=-. 2.将例2(1)的条件改为sin=,0<x<,求的值. [解] ∵0<x<,∴-x∈. 又sin=, ∴cos=. 又cos 2x=sin =2sincos =2××=, cos =sin =sin=, ∴原式==. [规律方法] 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. (2)当遇到f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通. cos 2x=sin 类似的变换还有: 8 化简证明问题 [探究问题] 1.解答化简证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理? 提示:通常要切化弦后再进行变形. 2.证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么? 提示:由复杂一侧向简单一侧推导. (1)化简:+=________. (2)证明:=-4. [思路探究] (1)通分变形. (2)→→ (1)-tan 2θ [(1)原式===-=-tan 2θ. (2)左边= = == =-4=右边,所以原等式成立.] [规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤: ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异; ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. [跟踪训练] 2.求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B; (2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ. 8 [证明] (1)左边=- = =(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) =cos 2Acos 2B=右边, ∴等式成立. (2)法一:左边=cos2θ =cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边. [当 堂 达 标·固 双 基] 1.下列各式中,值为的是( ) A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.2sin215° D.sin215°+cos215° B [2sin 15°cos 15°=sin 30°=;cos215°-sin215°=cos 30°=;2sin215°=1-cos 30°=1-;sin215°+cos215°=1,故选B.] 2.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 B [易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=(2cos2x-1)++1=cos 2x+,则f(x)的最小正周期为π,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.] 3.若sin α=3cos α,则=________. 6 [====6.] 4.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________. [∵sin 2α=-sin α, 8 ∴2sin αcos α=-sin α. 由α∈知sin α≠0, ∴cos α=-,∴α=, ∴tan 2α=tan=tan=.] 5.已知<α<π,cos α=-. (1)求tan α的值; (2)求sin 2α+cos 2α的值. [解] (1)因为cos α=-,<α<π, 所以sin α=, 所以tan α==-. (2)因为sin 2α=2sin αcos α=-, cos 2α=2cos2α-1=, 所以sin 2α+cos 2α=-+=-. 8查看更多