2020高中数学 第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

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2020高中数学 第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式

‎3.1.3 ‎二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标:1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α=2sin_αcos_α C2α cos 2α=cos2α-sin2α T2α tan 2α= ‎2.余弦的二倍角公式的变形 ‎3.正弦的二倍角公式的变形 ‎(1)sin αcos α=sin 2α,cos α=.‎ ‎(2)1±sin 2α=(sin_α±cos_α)2.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(  )‎ ‎(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(  )‎ ‎(3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(  )‎ ‎[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此说法错误.‎ ‎(2)√.当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.‎ ‎(3)×.当cos α=时,cos 2α=2cos α.‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)×‎ ‎2.sin 15°cos 15°=________.‎  [sin 15°cos 15°=×2sin 15°cos 15°=sin 30°=.]‎ ‎3.-cos2=________.‎ 8‎ ‎- [-cos2=-=--×=-.]‎ ‎4.若tan θ=2则tan 2θ=________.‎ ‎- [tan 2θ===-.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 给角求值 ‎ (1)coscoscos的值为(  )‎ A.   B.- C. D.- ‎(2)求下列各式的值:‎ ‎①cos415°-sin415°;②1-2sin275°;③;‎ ‎④-. ‎ ‎【导学号:84352329】‎ ‎(1)D [(1)∵cos=-cos,cos=-cos,‎ ‎∴coscoscos=coscoscos=====-.‎ ‎(2)①cos415°-sin415°=(cos215°-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=.‎ ‎②1-2sin275°=1-(1-cos 150°)=cos 150°=-cos 30°=-.‎ ‎③=2× ‎=2×=-2.‎ ‎④-= 8‎ ‎= ‎= ‎==4.]‎ ‎[规律方法] 对于给角求值问题,一般有两类:‎ (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.‎ (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.求下列各式的值 ‎(1)cos 72°cos 36°;‎ ‎(2)+.‎ ‎[解] (1)cos 36°cos 72°====.‎ ‎(2)原式= ‎= ‎===4.‎ 给值求值、求角问题 ‎ (1)已知cos=,≤α<,求cos的值;‎ ‎(2)已知α∈,且sin 2α=sin,求α.‎ ‎[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解:‎ ‎(1)α+与2α+,α-与2α-具有2倍关系,用二倍角公式联系;‎ 8‎ ‎(2)2α+与2α差,用诱导公式联系.‎ ‎[解] (1)∵≤α<,∴≤α+<.‎ ‎∵cos>0,∴<α+<,‎ ‎∴sin=-=-=-,‎ ‎∴cos 2α=sin=2sincos=2××=-,‎ sin 2α=-cos=1-2cos2=1-2×2=,‎ ‎∴cos=cos 2α-sin 2α=×-×=-.‎ ‎(2)∵sin 2α=-cos=- ‎=1-2cos2,‎ sin=-sin ‎=-cos ‎=-cos,‎ ‎∴原式可化为1-2cos2 ‎=-cos,‎ 解得cos=1或cos=-.‎ ‎∵α∈,‎ ‎∴α+∈,‎ 故α+=0或α+=,‎ 即α=-或α=.‎ 母题探究:1.在例2(1)的条件下,求sin 4α的值.‎ 8‎ ‎[解] 由例2(1)解析知sin 4α=2sin 2αcos 2α=2××=-.‎ ‎2.将例2(1)的条件改为sin=,0<x<,求的值.‎ ‎[解] ∵0<x<,∴-x∈.‎ 又sin=,‎ ‎∴cos=.‎ 又cos 2x=sin ‎=2sincos ‎=2××=,‎ cos ‎=sin ‎=sin=,‎ ‎∴原式==.‎ ‎[规律方法] 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.‎ (2)当遇到f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.‎ cos 2x=sin 类似的变换还有:‎ 8‎ 化简证明问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.解答化简证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理?‎ 提示:通常要切化弦后再进行变形.‎ ‎2.证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么?‎ 提示:由复杂一侧向简单一侧推导.‎ ‎ (1)化简:+=________.‎ ‎(2)证明:=-4. ‎ ‎ [思路探究] (1)通分变形.‎ ‎(2)→→ ‎(1)-tan 2θ [(1)原式===-=-tan 2θ.‎ ‎(2)左边= ‎= ‎== ‎=-4=右边,所以原等式成立.]‎ ‎[规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.‎ (2)证明恒等式的一般步骤:‎ ‎①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;‎ ‎②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B;‎ ‎(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.‎ 8‎ ‎[证明] (1)左边=- ‎= ‎=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)‎ ‎=cos 2Acos 2B=右边,‎ ‎∴等式成立.‎ ‎(2)法一:左边=cos2θ ‎=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.‎ 法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ ‎=cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.下列各式中,值为的是(  )‎ A.2sin 15°cos 15°    B.cos215°-sin215°‎ C.2sin215° D.sin215°+cos215°‎ B [2sin 15°cos 15°=sin 30°=;cos215°-sin215°=cos 30°=;2sin215°=1-cos 30°=1-;sin215°+cos215°=1,故选B.]‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(  )‎ A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ B [易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=(2cos2x-1)++1=cos 2x+,则f(x)的最小正周期为π,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.]‎ ‎3.若sin α=3cos α,则=________.‎ ‎6 [====6.]‎ ‎4.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________.‎  [∵sin 2α=-sin α,‎ 8‎ ‎∴2sin αcos α=-sin α.‎ 由α∈知sin α≠0,‎ ‎∴cos α=-,∴α=,‎ ‎∴tan 2α=tan=tan=.]‎ ‎5.已知<α<π,cos α=-.‎ ‎(1)求tan α的值;‎ ‎(2)求sin 2α+cos 2α的值.‎ ‎[解] (1)因为cos α=-,<α<π,‎ 所以sin α=,‎ 所以tan α==-.‎ ‎(2)因为sin 2α=2sin αcos α=-,‎ cos 2α=2cos2α-1=,‎ 所以sin 2α+cos 2α=-+=-.‎ 8‎
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