2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高二下学期期中考试数学（文科）试题 解析版

2018-2019学年江苏省江阴市第一中学高二下学期期中考试数学（文科）试题 解析版

绝密★启用前 江苏省江阴市第一中学2018-2019高二下学期期中考试数学（文科)试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．全集,集合, ,则__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集与交集的定义计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：,‎ 集合,‎ 所以,‎ 所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与计算问题,是基础题．‎ ‎2．命题“，”的否定是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题“”的否定为“”，因此命题“”的否定是“”.‎ 考点：命题的否定 ‎3．已知， 为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】为实数，‎ 则.‎ ‎【考点】 复数的分类 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数，‎ 当时， 为虚数，‎ 当时， 为实数，‎ 当时， 为纯虚数.‎ ‎4．求值：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数幂及对数运算法则直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解： ．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂及对数运算,是基础题,解题时要认真审题,注意运算法则的合理运用．‎ ‎5．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，‎ 幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴a是奇数，且a＜0，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎6．若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若“”是“”成立的充分不必要条件，则由解得，所以.‎ 故答案为.‎ ‎7．函数的单调递增区间是__________．‎ ‎【答案】或写成 ‎【解析】‎ 由题得函数定义域：，令则在递减，在递增，又因为函数为减函数，根据复合函数单调性得判断方法得在递增.‎ 点睛：根据题意可得此函数为复合函数单调性问题，对于复合函数单调性判断遵循四个字“同增异减”原则即可，但在解题时尤其要注意先求函数的定义域.‎ ‎8．已知命题， 恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当P为真命题时， 恒成立，所以， ，当Q为假命题时， 为真命题，即，所以，又命题 为真命题，所以命题都为真命题，则 ，即。故实数的取值范围是。‎ ‎9．已知函数，若，则 __________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则函数为奇函数，根据题意得到的值后可得的值．‎ ‎【详解】‎ 令，则函数为奇函数．‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为–7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数性质的应用，解题的关键是构造奇函数，然后利用整体代换的思路求解，使得解题的过程变得简单、容易．‎ ‎10．已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件关系得到当时,函数是周期为4的周期函数,利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于,都有,‎ ‎∴,即当时,函数是周期为4的周期函数,‎ ‎∵当时,,‎ ‎∴,‎ ‎，‎ 则．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算,根据条件求出函数的周期,以及利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．‎ ‎11．已知边长分别为的三角形面积为,内切圆的半径为,连接,则三角形的面积分别为,由得,类比得四面体的体积为,四个面的面积分别为,则内切球的半径__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的。‎ ‎∴根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，‎ ‎∴根据体积相等可得R(S1+S2+S3+S4)=V，‎ 即内切球的半径R=.‎ 故答案为.‎ 点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 ‎12．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数．如果对于，，使得，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为是定义在上的奇函数,, 当时,, 则当时,, 若对于,使得,则等价为且,‎ ‎,则满足且,解得且,故，故答案为.‎ 考点：1、函数的奇偶性及全称量词与存在量词的应用；2、函数的单调性及函数的最值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及全称量词与存在量词的应用、函数的单调性及函数的最值，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的最值，用不等式法求最值时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求最值时主要应用方法①结合方法④解答的.‎ ‎13．知函数,实数且,满足,则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出函数的图象（如图所示），‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，且,‎ ‎∴,‎ ‎∵，∴，∴，故所求范围为，答案为.‎ 点睛：本题借助于函数的图象进行解题，体现了数形结合在数学中的应用，解题时要注意画图时要准确，另外利用图形时要注意观察图象的特征，由此得到函数的性质，如在本题中由图象的对称性得到的， 等，都成了解题的关键。‎ ‎14．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得当时，，则函数的两个零点分居在的两侧，即且时，即，若，无解，所以函数的两个零点符合题设，故；综上所求实数的取值范围是或，应填答案.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．已知和都是实数．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简和，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z． （2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设,则 ‎ ‎ ‎∵和都是实数,‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴‎ ‎（2）由（1）知,∴‎ ‎∵在复平面上对应的点在第四象限,‎ ‎∴‎ 解得 即实的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，式子的变形是解题的难点．‎ ‎16．设全集是实数集, ,．‎ ‎（1）当时,求和；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)，;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入集合B，求出集合B的解集，再根据交集和并集的定义进行求解；‎ 因为，可知，求出，再根据子集的性质进行求解；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得，‎ 当时，，‎ 则，‎ 若，则或，‎ ‎、当时，，满足A.‎ 当时，，‎ 又，则．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了交集和并集的定义以及子集的性质，其中解答中熟记集合的运算，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎17．命题：函数有意义,命题：实数满足．‎ 当时,若都是真命题,求实数的取值范围；‎ 若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若,分别求出,成立的等价条件,利用且为真,求实数的取值范围；‎ ‎（2）利用是的充分不必要条件,得到集合之间的包含关系,从而求实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 即,其中,‎ 得, ,则：,．‎ 若,则：,‎ 由解得．‎ 即：．‎ 若为真,则，同时为真,‎ 即,解得,‎ ‎∴ 实数的取值范围．‎ ‎（2）若是的充分不必要条件,‎ ‎∴ 即是的真子集．‎ 所以,且,不能同时成立,‎ ‎ 解得．‎ 实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,属于中档题．‎ ‎18．某辆汽车以千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为升,其中为常数,且．‎ ‎（1）若汽车以千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为升,欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围；‎ ‎（2）求该汽车行驶千米的油耗的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得，解不等式可得x的范围；‎ ‎（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，由题意可得换元令化简整理可得t的二次函数，讨论t的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得当时,,‎ 解得,由,‎ 即,解得,‎ 又,可得,‎ 每小时的油耗不超过9升,的取值范围为； ‎ ‎（2）设该汽车行驶100千米油耗为升,则 令,则，‎ 即有，‎ 对称轴为,由,可得,‎ ‎①若即,‎ 则当,即时,；‎ ‎②若即,‎ 则当,即时,．‎ 答：当,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；‎ 当,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知函数,函数．‎ ‎⑴若的定义域为,求实数的取值范围；‎ ‎⑵当,求函数的最小值；‎ ‎⑶是否存在实数,使得函数的定义域为,值域为？若存在,求出的值；若不存在,则说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为的定义域为，所以对任意实数恒成立.当m=0时显然不满足，当m不为0时，内层函数为二次函数，需要开口向上且判别式小于0，即可满足要求．‎ ‎（2）x∈[-1，1]时，求函数是一个复合函数，复合函数的最值一般分两步来求，第一步求内层函数的值域，第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值，本题内层函数的值域是确定的一个集合，而外层函数是一个系数有变量的二次函数，故本题是一个区间定轴动的问题．‎ ‎(3) 根据函数的单调性，列出方程组 转化为：即m、n是方程 的两非负实根，且m＜n.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意对任意实数恒成立,‎ ‎∵时显然不满足 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）令,则 ‎∴ ‎ ‎（3）∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ 函数在[,]单调递增,‎ ‎∴ 又∵ ‎ ‎∴ ，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次函数的图形特征，利用换元法构造新函数，分类讨论求函数的最值以及函数单调性的应用，属中等题．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）若a＝0时，求函数的零点；‎ ‎（2）若a＝4时，求函数在区间[2，5]上的最大值和最小值；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）x=1 (2) 函数的最大值为12，最小值为5. (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，去绝对值变分段函数，再求的根，即为函数零点；（2）当时，；再对的取值进行分类讨论去掉绝对值符号：①当时，②当时，分别求出在各自区间上的最值，最后综合得到函数 的最值；（3）将已知条件等价转化为恒成立，下面只要利用分离参数法求出函数和在给定区间上的最值即得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ 由得x=1或x=-3（舍），‎ 由得方程无解，‎ 综上得，函数的零点为x=1；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎①当时，，‎ 当x=2时，；当x=3时，；‎ ‎②当4≤x≤5时，，‎ 当时，；当时，；‎ 综上可知：函数的最大值为12，最小值为5.‎ ‎（3）若，原不等式化为，即在上恒成立，‎ ‎∴，即，‎ 若，原不等式化为，即在上恒成立，‎ ‎∴，即，‎ 综上可知：a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点以及最值问题，对于恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎