2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：31

2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：31

‎（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）‎ ‎9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．‎ ‎【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：‎ S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．‎ ‎（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）‎ ‎9.‎ 四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用，，，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，，，的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令B为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。‎ ‎【详解】A,B只能有一个可能为1，题目求最大，令B为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为，故选C。‎ ‎【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。‎ ‎（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）‎ ‎7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．‎ ‎【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，‎ 设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，‎ ‎∴OCa，‎ ‎∴O'Ca，OO'a，‎ ‎∴ODa，‎ ‎∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，‎ S正六边形a2，‎ ‎∴点恰好取自阴影部分的概率P，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．‎ ‎（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎13.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用辅助角公式化简题目所给不等式，解三角不等式求得点的取值范围，利用几何概型的概率公式求得所求的概率.‎ ‎【详解】由得，，故，解得，根据几何概型概率计算公式有概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数辅助角公式，考查几何概型的计算，属于基础题.‎ ‎（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）‎ ‎4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为,一个等腰直角三角形的边长为，两个等腰直角三角形的边长为2，2，，即最大正方形边长为 P=,选B.‎ ‎（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）‎ ‎11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）‎ A. P1•P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.‎ ‎【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321‎ 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；‎ 方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；‎ 所以P1+P2＝‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.‎ ‎（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）‎ ‎9.在边长为2的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于1的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C 的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．‎ ‎【详解】满足条件的正三角形ABC如下图所示：‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形4‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，‎ 则S阴影π 则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是 P．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题．‎ ‎（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）‎ ‎4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5‎ 分钟，根据几何概型的概率公式可求．‎ ‎【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，‎ 由题意可得，0≤x≤60，‎ 等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．‎ ‎（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，，在大正方形内取一点，则此点取自中间小正方形的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知条件得到小正方形的边长，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案.‎ ‎【详解】大正方形的面积为，则正方形的边长为,即 ‎,则直角三角形中较短的边为较长边为=4,则中间小正方形的边长为4‎ 故点取自中间小正方形的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）‎ ‎13.某频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在内的频率为，则估计样本在的数据个数之和是_______．‎ 分组 频数 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给样本在内的频率，计算得内数据个数，结合表格数据计算得内的数据个数之和.‎ ‎【详解】由于样本容量为，故在内的频数为，故在内的数据个数之和为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查样本、频数与频率之间的关系，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）‎ ‎7.‎ 太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的周期，得出大圆的半径，然后利用几何概型求得“点投放到“鱼眼”部分的概率”.‎ ‎【详解】函数的最小正周期为，故大圆的直径为，半径为，故“点投放到“鱼眼”部分的概率”为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦型函数的周期性，考查利用几何概型面积计算公式计算概率，属于基础题.‎ ‎（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎6.如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分计算得阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.‎ ‎【详解】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查几何概型的识别以及其概率计算公式，属于基础题.‎ ‎（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎5.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得两项都合格以及两项都不合格的概率，用减去这两个概率求得恰有一项合格的概率.‎ ‎【详解】两项都合格的概率为，两项都不合格的概率为，故恰有一项合格的概率为.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查相互独立事件的概率计算公式，考查利用补集的思想求事件的概率，属于基础题.‎ ‎（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）‎ ‎15.如图，圆柱O1 O2 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O1 O2 的概率为_________； ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.‎ ‎【详解】设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为，而球的体积为，故所求概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.‎ ‎（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）‎ ‎6.在区间上随机取一个实数，使的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦函数的单调性可以求出不等式在区间上的解，然后由几何概型的公式求解即可。‎ ‎【详解】由在区间上单调递增，在上单调递减，则不等式在区间上的解为，故的概率为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型，考查了余弦函数的单调性，属于基础题。‎ ‎（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）‎ ‎6.已知为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：.在长方形内随机取一点，取到的点到点的距离不大于的概率为.‎ ‎（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）‎ ‎4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选A.‎ ‎（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）‎ ‎8.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，若向该矩形内随机投一点P，那么使△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以AB为底边，由△ABP与△ADP的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．‎ ‎【详解】以AB为底边，要使面积都小于4，‎ 由于AB×h＝4h＜4，‎ 则点P到AB的距离h＜1，‎ 同样，AD×d＝3d＜4，‎ ‎∴P点到AD的距离要小于，满足条件的P 的区域如图，‎ 其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是1．‎ ‎∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4概率为：p．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）‎ ‎3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。‎ ‎【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.‎ 从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.‎ 两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.‎ 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。‎ ‎（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题）‎ ‎7.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，现向大正方形内丢一粒黄豆，当每个直角三角形的两直角边之比都是时，则该黄豆落入小正方形内的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由勾股定理得：设小正方形的边长为，大正方形的边长为：，‎ 由正方形的面积公式及几何概型中的面积型有：，得解．‎ ‎【详解】设小正方形的边长为，‎ 由每个直角三角形的两直角边之比都是2：3，‎ 则直角三角形的两边长分别为：，‎ 则大正方形的边长为：，‎ 设事件A为“向大正方形内丢一粒黄豆，黄豆落入小正方形内”，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了正方形的面积公式，勾股定理及几何概型中的面积型，属中档题．‎ ‎（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）‎ ‎6.某公司有包括甲、乙在内的4名员工参加2018年上海进博会的服务，这4名员工中2人被分配到食品展区，另2人被分配到汽车展区，若分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一展区的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人同时被安排到同一展区的基本事件个数m=2，由古典概型的概率计算即可．‎ ‎【详解】有甲、乙在内4名员工，随机安排2人到食品展区，另2人到汽车展区的基本事件总数n＝＝6，甲、乙两人同时被安排到同一展区的基本事件个数m=2，由古典概型的计算公式得概率p＝ ．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）‎ ‎5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁．如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正八边形的边长为 a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案．‎ ‎【详解】设正八边形的边长为a，则其面积为 ‎ ‎ ‎= ．‎ 中间正方形的面积为2a2．‎ 由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题．‎ ‎（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）‎ ‎5.我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点不落在圆内接正方形内部的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率公式分别求出正方形的面积和圆的面积即可．‎ ‎【详解】设圆的半径为，则圆与正方形面积分别为，，‎ 所以此点不落在圆内接正方形内部的概率为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据定义求出相应的面积是解决本题的关键．‎ ‎（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）‎ ‎8.右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出正方形DEFC的面积，再根据几何概型概率求结果.‎ ‎【详解】设正方形DEFC的边长为，则，因此所求概率为，选B.‎ ‎【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）‎ ‎8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段，过点作的垂线，并 用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交 于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点．则点即为线段的黄金分割点．若在线段上随机取一点F，则使得的概率约为 ‎ （参考数据：）‎ A. 0.236 B. 0.382 C. 0.472 D. 0.618‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由勾股定理可得，由图可得，由长度比的几何概型可得概率为的概率为，即可求解。‎ ‎【详解】由勾股定理可得，‎ 由图可知，‎ 则，‎ 由长度比的几何概型，可得概率为的概率为，‎ 故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，利用勾股定理求得，利用长度比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）‎ ‎9.如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为图中阴影部分，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，代入几何概率的计算公式可求．‎ ‎【详解】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3‎ 正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，‎ 根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，‎ 由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）‎ ‎6.在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解得到x的范围，然后利用几何概型个概率公式计算即可.‎ ‎【详解】所有的基本事件构成的区间长度为，由，解得：‎ ‎，则，所以由几何概型的概率公式得的值介于0到之间的概率为，‎ 故选:D ‎【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎（河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）‎ ‎4.《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示，当内方的边长为5 时， 外方的边长为， 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意可计算出，，根据几何概型概率公式计算即可．‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．‎ ‎（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）‎ ‎8.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为 ‎（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.‎ ‎【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.‎ 设圆的半径为，则，解得，‎ 所以圆的面积，‎ 所以质点落在弓形内的概率为,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）‎ ‎6.在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于1的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，‎ 又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，‎ 所以所求概率为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意得到基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）‎ ‎14.如图，是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点，连接，则弦的长度不超过的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，先找出弦的长度不超过对应的点，其构成的区域是点M两侧各圆周，既而求得概率.‎ ‎【详解】根据题意，满足条件“弦的长度不超过”对应的点，其构成的区域是点M两侧各圆周，所以弦MN的长度不超过的概率是 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的意义，关键是找出满足条件弦MN的长度不超过的图形测度，再带入公式求解.‎ ‎（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）‎ ‎10.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.‎ ‎【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，‎ 所以三人中至少有一人被录取的概率为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.‎ ‎（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）‎ ‎16.已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．‎ ‎【详解】如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥‎ ‎4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部 ‎∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的概率为 P1===．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】几何概型概率公式的应用：‎ ‎（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.‎ ‎（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）‎ ‎5.影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁．如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正八边形的边长为a，分别求出正八边形的面积及正方形的面积，由几何概型知概率是面积比得答案．‎ ‎【详解】设正八边形的边长为a，则其面积为 ‎ ‎ ‎= ．‎ 中间正方形的面积为2a2．‎ 由几何概型知概率为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题．‎ ‎（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）‎ ‎6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式表示的区域面积为，表示的区域的面积为，利用几何概型概率公式即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，‎ 且满足不等式表示的区域是边长为的正方形，面积为，‎ 在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.‎ ‎（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）‎ ‎18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：‎ ‎（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；‎ ‎（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.‎ ‎【答案】(1) 平均值为 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种， 含有文科学生的有16种，求解即可.‎ ‎【详解】（1）依题意可知：‎ ‎，‎ 所以综合素质成绩的的平均值为. ‎ ‎（2）设这名同学分别为其中设为文科生，‎ 从6人中选出3人，所有的可能的结果 ‎ 共20种， ‎ 其中含有文科学生的有 ‎16种 所以含文科生的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.‎ ‎（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）‎ ‎18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；‎ ‎（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收入（元）‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；‎ ‎（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为 ‎（2）‎ ‎（3）220元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。‎ ‎（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群的有12种结果，问题得解。‎ ‎（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。‎ ‎【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，‎ 调整后关于的表达式为.‎ ‎（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，12，13，14，23，24，34，共21种情况，‎ 其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，共12种，所以所求概率为.‎ ‎（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，‎ 按调整起征点前应纳个税为元；‎ 按调整起征点后应纳个税为元，‎ 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，‎ 所以小红的实际收入增加了220元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。‎ ‎（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）‎ ‎19.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：‎ ‎①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；‎ ‎②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；‎ ‎③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；‎ ‎④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；‎ ‎⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.‎ 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.‎ ‎（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；‎ ‎（2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；‎ ‎（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.‎ ‎【答案】（1）14（2）131（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（１）先计算这20位顾客中获得抽奖机会的人数，再计算抽奖总次数，（２）根据平均数定义求平均数，从数据确定中位数，（３）先确定所有结果数，再根据古典概型概率公式确定对应概率.‎ 试题解析：解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.‎ 这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.‎ ‎（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110，‎ 平均数为 .‎ ‎（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件.‎ 在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为，‎ 获得5元的概率为，‎ 获得2元的概率为.‎ ‎（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）‎ ‎19.2018年开始，直播答题突然就火了，在某场活动中，最终仅有23人平分100万奖金，这23人可以说是“学霸”级的大神.但随着直播答题的发展，其模式的可持续性受到了质疑，某网战随机选取500名网民进行了调查，得到的数据如下表：‎ 男 女 认为直播答题模式可持续 ‎180‎ ‎140‎ 认为直播答题模式不可持续 ‎120‎ ‎60‎ ‎（1）根据表格中的数据，用独立性检验的思维方法判断是否有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系？‎ ‎（2）已知在参与调查的500人中，有15%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有12%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.‎ 参考公式：‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系； （2）女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.195.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由公式，求出的观测值，从而可以确定有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系；（2）先求出女性调查者获得过奖励的人数，再除以参与调查的女性总人数，即可得到答案。‎ ‎【详解】（1）依题意，的观测值 故有97.5%的把握认为对直播答题模式的态度与性别有关系.‎ ‎（2）由题意，参与答题游戏获得过奖励的人数共有人；‎ 其中男性被调查者获得过奖励的人数为人，‎ 故女性调查者获得过奖励人数为39人，记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件，则.‎ 女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为0.195.‎ ‎【点睛】独立性检验问题的一般解法是利用，求出的观测值，再利用与临界值的大小关系来判断假设是否成立，在解题时应注意准确代数与计算。‎ ‎（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）‎ ‎19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 ‎20‎ ‎25‎ ‎10‎ ‎5‎ 乙组 ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？ ‎ ‎（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.‎ ‎【答案】（1）方式一（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用总的受训时间除以，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组人，乙组人.再利用列举法求得“从这人中随机抽取人，求这人中至少有人来自甲组的概率”.‎ ‎【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则 ‎（小时）‎ ‎（小时）‎ 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；‎ ‎（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,‎ 则这6人中来自甲组的人数为：，‎ 来自乙组的人数为：，‎ 记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取 ‎2人的不同方法数有：，，，，共15种，‎ 其中至少有1人来自甲组的有：，‎ 共9种，故所求的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.‎ ‎（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）‎ ‎20.下图是某市年至年环境基础设施投资额(单位：亿元)的条形图．‎ ‎（1）若从年到年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于亿元的概率；‎ ‎（2）为了预测该市年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①：；根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②：．‎ ‎(i)分别利用这两个模型，求该地区年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎(ii)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）(i) 利用模型①,预测值为226.1亿元，利用模型②,预测值为256.5亿元(ii)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）现将年投资额中抽取两年的基本事件列举出来，然后计算出符合“两年的投资额的平均数不少于亿元”事件的个数，由此求得所求的概率.（2）(i)将分别代入两个回归直线方程，计算出相应的预测值. (ii)根据散点图的变化趋势进行分析，可得利用模型②得到的预测值更可靠.根据（i）中的预测值值进行分析，也可以得出利用模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎【详解】（1）从条形图中可知，2011年到2015年这五年的投资额分别为122亿、129亿、148亿、171亿、184亿，设2011年到2015年这五年的年份分别用表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：‎ 共10种，‎ 其中满足两年的投资额的平均数不少于140亿元的所有基本事件有：‎ 共7种， ‎ 所以从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率为 ‎（2）(i)利用模型①,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元).‎ 利用模型②,该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元). ‎ ‎(ii)利用模型②得到的预测值更可靠. ‎ 理由如下：画出2001年至2017年环境基础设施投资额(单位：亿元)的散点图 ‎（ⅰ）从散点图可以看出,2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2011年相对2010年的环境基础设施投资额有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2011年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. ‎ ‎（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用列举法求古典概型的概率，考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法.属于中档题.‎ ‎（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎19.某医疗器械公司在全国共有个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）完成年销售任务的销售点有多少个？‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从这个销售点中抽取容量为的样本，求该五组，，，，，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量. ‎ ‎（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取个，求这两个销售点不在同一组的概率.‎ ‎【答案】（1）24；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率之和等于1，列出方程，求解即可；（2）各组应抽取的销售点数量比例为，按比例计算即可；（3）完成年销售任务的销售点，中有个，中有个，不在一组的基本事件有9个，所有的基本事件有15个，即可得到概率为。‎ ‎【详解】（1），解得，‎ 则完成年销售任务的销售点个数为.‎ ‎（2）各组应抽取的销售点数量比例为，则各组应抽取的销售点数量分别为，，，，.‎ ‎（3）在第（2）问容量为的样本中，完成年销售任务的销售点，中有个，记为，，，中有个，记为，，.‎ 从这个销售点中随机选取个，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，‎ 不在一组的基本事件有，，，，，，，，，共个基本事件，故所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，考查了概率的计算，属于基础题。‎ ‎（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）‎ ‎18.近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.‎ 题号 分组 频数 频率 第1组 ‎0.100‎ 第2组 ‎①‎ 第3组 ‎20‎ ‎②‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ 第6组 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；‎ ‎（2）组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官面试的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为，从而第2组的频数为，因此②处应填的数为，即可得到答案。‎ ‎（2）设第3组的2名选手为，第4组的2名选手为，第5组的1名选手为，利用列举法得到基本事件的总数，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为，从而第2组的频数为，因此②处应填的数为.‎ 频率分布直方图如图所示，‎ ‎（2）设第3组的2名选手为，第4组的2名选手为，第5组的1名选手为，则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况为，，，共10种，‎ 其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有，共7种，所以第4组至少有1名选手被考官面试的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，以及频率分布直方图的应用，其中解答中认真审题，根据频率分布直方图的性质，以及利用列举法得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）‎ ‎19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：‎ 超过1小时 不超过1小时 男 ‎20‎ ‎8‎ 女 ‎12‎ m ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）没有95%把握（Ⅲ）4人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知得该校女生人数，利用分层抽样的原则列等式得m值，由列联表中的数据可得n值；（Ⅱ）由列联表计算的值，对照临界值，即可得出结论；（Ⅲ）由列联表中的数据可得学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，从而得到6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故，得 从而.‎ ‎（Ⅱ）作出列联表如下：‎ 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 女 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ ‎ .‎ 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.‎ ‎（Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，‎ 故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人.‎ ‎【点睛】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎