专题2-4 专题突破：高考中的三角函数于平面向量问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题2-4 专题突破：高考中的三角函数于平面向量问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

题型一　三角函数的图象与性质 例1　已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2 x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎【思维升华】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．‎ ‎【跟踪训练1】已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．‎ ‎【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)‎ ‎＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.‎ 由－1≤sin(ωx－)≤1，‎ 得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，‎ 所以函数f(x)的值域为－3,1]．‎ 题型二　三角函数和解三角形 例2　【2015·山东】设f(x)＝sin xcos x－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin 2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, ‎ 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, ‎ 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎【思维升华】‎ ‎　三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．‎ ‎【跟踪训练2】　已知函数f(x)＝2cos2x－sin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f (A)＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．‎ ‎【解析】　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin ‎＝(1＋cos 2x)－ ‎＝1＋sin 2x＋cos 2x ‎＝1＋sin.‎ ‎∴函数f(x)的最大值为2.‎ 要使f(x)取最大值，‎ 则sin＝1，‎ ‎∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)取最大值时x的取值集合为 .‎ 题型三　三角函数和平面向量 例3　已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)．‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ ‎【解析】　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．‎ ‎【思维升华】　‎ ‎(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．‎ ‎(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．‎ ‎【跟踪训练3】　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α

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