专题12-4 二项式定理-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

专题12-4 二项式定理-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

二项式定理 ‎【基础知识整合】‎ ‎1. 二项式定理 ‎，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.‎ ‎2．二项展开式形式上的特点：‎ ‎(1)项数为.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.‎ ‎(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.‎ ‎3. 二项式系数的性质：‎ ‎(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.‎ ‎(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．‎ ‎(3)各二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，‎ ‎4.注意:‎ ‎（1）．分清是第项，而不是第项.‎ ‎(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.‎ ‎(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. ‎ ‎(4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．‎ ‎5．二项式的应用:‎ ‎（1）求某些多项式系数的和；‎ ‎（2）证明一些简单的组合恒等式；‎ ‎（3）证明整除性,‎ ‎①求数的末位；‎ ‎②数的整除性及求系数；‎ ‎③简单多项式的整除问题；‎ ‎（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：‎ ‎①；‎ ‎②；（5）证明不等式.‎ 类型一　二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 ‎【典例1】二项式 展开式中的常数项是_________‎ ‎【答案】7‎ ‎【解法二】思路：对中的8个因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出，六个式子出相乘，‎ 所以常数项为： ‎ ‎【思路点拨】通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。‎ ‎【典例2】【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎【思路点拨】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，‎ 再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.‎ ‎【典例3】 【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【一题多解】‎ 在的展开式中，的系数是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解法一】考虑二项展开的通项公式：‎ 由所求可得： ‎ ‎【解法二】可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成，需要个，个 所以该项为：‎ 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 ‎【典例4】【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ 考点：二项式定理 ‎【思路点拨】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.‎ ‎【典例5】【2015湖南理2】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）‎ A. ‎ B. C.6 D-6‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，令，可得，故选D.‎ ‎【考点定位】二项式定理.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第 项为，即可建立关于的方程，从而求解.‎ ‎【变式训练】‎ 已知的展开式中项的系数为，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 先利用通项公式求出的项，在利用系数的条件求出的值即可 解： ‎ ‎ ‎ 类型二　二项式系数的和或各项系数的和的问题 ‎【典例6】【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】二项式系数，二项式系数和.‎ ‎【思路点拨】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.‎ ‎【变式训练】‎ 已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要想求得展开式的某项，首先要先确定的取值，先利用二项式系数和求出：即，再求展开式的常数项为 类型三　二项式定理的应用 ‎【典例7】【2014年.浙江卷.理5】在的展开式中，记项的系数为 ‎，则 （ ）‎ A.45 B.60 C.120 D. 210‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，故选C 考点：二项式系数.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．求二项展开式中的项的方法：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．‎ ‎【变式训练】‎ 二项式展开式中系数最大的项为___________‎ ‎【答案】‎ 若最大，则 ‎ ‎ 解得： 　　　或 ‎ 经检验：系数最大的项为 ‎