2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

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2017-2018 学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期 期末考试 数学（理） 试 题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题意的） 1、两个整数 和 的最大公约数是（ ） A. 53 B. 43 C.51 D. 67 2、要从已编号（ ）的 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 枚来进行发射试验，用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 枚导弹的编号可能是（　　） A. B. C. D. 3、下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　) A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B. 统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于 90 分与平均分数高于 90 分 C. 播种菜籽 100 粒，发芽 90 粒与至少发芽 80 粒 D. 检查某种产品，合格率高于 70%与合格率为 70% 4、 ( ) A. B. C. D. 5、执行如右图的程序框图，那么输出的 值是（ ） A. 54 B. 56 C. 90 D. 180 6、某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有 6 个焊点，若其中某一焊点脱落， 电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） A. 5 种 B. 6 种 C. 63 种 D. 64 种 7、随机调查某校 个学生在学校的午餐费，结果如下表： 1908 4187 1~ 70 70 7 7 51015 20 25 30,35，，， ， ， 313 23 33 43 53 63，， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7，，，，，， 1815 22 29 36 43，，， ， ， ， 5 4 9 9 6 5 10 10 A A A A + =− 4 15 7 15 3 10 3 20 S 50 餐费（元） 人数 这 个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8、一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A. 4 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 120 种 9、把十进制的 23 化成二进制数是　(　　) A. 00 110(2) B. 10 111(2) C. 10 111(2) D. 11 101(2) 10、某公司在 2013-2017 年的收入与支出情况如下表所示： 收入 （亿元） 支出 （亿元） . 根据表中数据可得回归直线方程为 ，依此估计如果 2018 年该公司收入为 亿元时的支出为 （ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 11、右图所示， 为某次考试三个评阅人对同一道题的 独立评分， 为该题的最终得分，当 ， ， 时， 等于（ ） A. 11 B. 10 C. 7 D. 8 12、甲、乙两枚骰子先后各抛一次， 分别表示抛掷甲、乙 两枚骰子所出现的点数，当点 落在直线 ( 为常数)上的概率最大时，则 的值为 (　　) A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 6 7 8 10 20 20 50 7.2 0.56 7.2 0.56 7 0.6 7 0.6 x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 y 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 0.8y x a ∧ ∧ = + 7 4.5 4.4 4.3 4.2 1 2 3, ,x x x p 1 6x = 2 9x = 8.5p = 3x ,a b ( ),P a b x y m+ = m m 13、某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90%.”你认为下面两个解释中能代 表教练的观点的为____. ①该射击运动员射击了 100 次，恰有 90 次击中目标 ②该射击运动员射击一次，中靶的机会是 90% 14、在数轴上 0 和 4 之间任取一个实数 ，则使“ ”的概率为__________. 15、张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是____. ①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜 ②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜 ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张 华获胜 ④张明、张华两人各写一个数字 6 或 8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜 16、用数字 1、2、3、4、5 构成数字不重复的五位数，要求数字 1,3 不相邻，数字 2,5 相邻， 则这样的五位数的个数是__________．（用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(10 分)如图，正方形 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取 自黑色部分的概率。 18、（12 分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行 了 6 次测试，测得他们的最大速度(单位： )的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息； (2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，请从发挥稳定并争取好成绩的角度判断 x 2log 1x < ABCD /m s 谁参加比赛更合适． 19、（12 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和 查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名同学， 每人随机写下一个 都小于 1 的正实数对 ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边 的数对 的个数 ；最后再根据统计数 来估计 的值．假如统计结果是 ，请计 算此时 的估计值。 20、（12 分）某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 位学生的笔试成绩，按成 绩分组，得到的频率分布表如下所示. (1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如 图)； 组号 分组 频数 频率 第 1 组 [160,165) 5 0.050 第 2 组 [165,170) ① 0.350 第 3 组 [170,175) 30 ② 第 4 组 [175,180) 20 0.200 第 5 组 [180,185] 10 0.100 合计 100 1.000 (2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 位学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试． (3)在(2)的前提下，学校决定在 6 位学生中随机抽取 2 位学生接受 考官进行面试，求第 4 π π ,x y ( ),x y ( ),x y m m π 56m = π A 组至少有一位学生被考官 A 面试的概率． 21、（12 分）如图，在三棱锥 中， ， ，侧面 为等 边三角形，侧棱 . （1）求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值. 22、（12 分）已知抛物线 ，点 在 轴的正半轴上，过 点的直线 与抛 物线 相交于 两点， 为坐标原点. (1) 若 ，且直线 的斜率为 ，求以 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点 ，使得不论直线 绕点 如何转动， 恒为定值？ ABCP − 2== BCAC 090=∠ACB PAB 22=PC PAB ⊥ ABC CAPB −− 2: 4C y x= ( ),0M m x M l C ,A B O 1m = l 1 AB M :l x ky m= + M 2 2 1 1 AM BM + 牡一中 2016 级高二学年上学期期末考试数学（理）答案 选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D C C A C B B D C 填空 13 14 15 16 答案 ② ② 24 17、设正方形的边长为 ，则黑色部分的面积为： ， 结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为： . 18、(1)画茎叶图如图，可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速 度的中位数是 33，乙的最大速度的中位数是 33. 5，因此从中位数看乙的情况比甲好． (2) 甲 ， 乙 ， 所 以 他 们 的 最 大 速 度 的 平 均 数 相 同 ， 再 看 方 差 ， ，则 ，故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更 合适 19、由题意，200 对都小于 1 的正实数对 ，满足 ，面积为 1，两个数能与 1 构 成钝角三角形三边的数对 满足 且 ，区域面积为 ，由已知 ， 解得 ． 1 2 ( )2 0a a > 21 2S aπ= × ×阴 2 2 2 4 8 a p a π π= = x ( )1 27 38 30 37 35 31 336 = × + + + + + = x ( )1 33 29 38 34 28 36 336 = × + + + + + = ( ) ( )2 22 1 476 26 3s  = × − +⋅⋅⋅ − = 甲 ( )2 2 21 380 36 3s = × +⋅⋅⋅ =乙 2 2s s>甲 乙 ( ),x y 0 1{0 1 x y < < < < ( ),x y 2 2 1x y+ < 0 1 {0 1 1 x y x y < < < < + > 1 4 2 π − 56 1 200 4 2 π= − 78 25 π = 20、(1)由题可知，第 2 组的频数为 0. 35×100＝35(人)，第 3 组的频率为 ＝0. 300，频率 分布直方图如下图． (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组 分别为第 3 组： ×6＝3(人)，第 4 组： ×6＝2(人)，第 5 组： ×6＝1(人)，所以第 3、 4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人． (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C1， 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能，如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)， (A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)． 第 4 组至少有一位同学入选的有： (A1，B1)，(A 1，B2)，(A 2，B1)，(A 2，B2)，(A 3，B1)，(B 1，B2)，(A 3，B2)，(B 1，C1)，(B 2， C1)．共 9 种可能．所以第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 ＝ ． 21、（1）证明：设 中点为 ，连结 ， ， 因为 ，所以 . 又 ，所以 . 所以 就是二面角 的平面角. 又由已知 ， ， 所以 ， . 又 为正三角形，且 ， 所以 . 因为 ，所以 . 所以 . 所以平面 平面 （2）由（1）知 ， ， 两两垂直. 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知 ， ， ， . 所以 ， . 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， . 所以平面 的一个法向量为 . 易知平面 的一个法向量为 . 所以 . 由图可知，二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . 22、（1）当 m=1 时，M(1，0)，此时，点 M 为抛物线 C 的焦点， 直线 的方程为 y=x-1，设 ，联立 ， 消去 y 得， ，∴ ， ， ∴圆心坐标为(3, 2). 又 ，∴圆的半径为 4， ∴圆的方程为 . (2)由题意可设直线 的方程为 ，则直线 的方程与抛物线 联立， 消去 x 得： ，则 ， ， 对任意 恒为定值， 于是 m=2，此时 . ∴存在定点 M(2, 0)，满足题意. l ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y， 2 4{ 1 y x y x = = − 2 6 1 0x x− + = 1 2 6x x+ = 1 2 1 2 2 4y y x x+ = + − = 1 2 2 8AB x x= + + = ( ) ( )2 23 2 16x y− + − = l x ky m= + l 2: 4C y x= 2 4 4 0y ky m− − = 1 2 4y y m= − 1 2 4y y k+ = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 AM BM x m y x m y + = +− + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 y y k y k y k y y += + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 16 8 2 1 1 16 2 1 y y y y k m k m k y y k m m k + − + += = = + + + k R∈ 2 2 1 1 1 4AM BM + =